Use o Teorema de Green para encontrar o trabalho total realizado ao mover um objeto no sentido anti-horário, uma vez em torno da circunferência , se o movimento for causado pelo campo de forças .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar o Teorema de Green para calcular o trabalho total realizado ao mover um objeto uma vez ao redor de uma circunferência de raio , no sentido anti-horário. O movimento é causado por um campo de forças dado por:
Para resolver isso, vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada à integral dupla sobre a região interna dessa curva.

Passo 2

O Teorema de Green nos diz que:
Aqui, , então identificamos:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Então, a integral dupla fica:

Passo 5

Agora, observamos que a região é uma circunferência centrada na origem com raio . Quando integramos sobre uma região simétrica em relação ao eixo , essa parte da integral será zero porque as contribuições positivas e negativas se cancelam. Então, ficamos apenas com:

Passo 6

Essa integral é simplesmente a área da circunferência:
Á

Resposta

O trabalho total realizado é .

Exercícios relacionados

Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios e quais são limitados.
(e)
Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios e quais são limitados.
(d)
Em cada um dos itens abaixo, use o exercício anterior para calcular a área da região dada.
(b) A região cuja fronteira é a circunferência .
Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
(a) , onde é a curva fechada determinada pelo eixo- , pela reta e pela curva .