Use o Teorema de Green para encontrar o trabalho total realizado ao mover um objeto no sentido anti-horário, uma vez em torno da circunferência
, se o movimento for causado pelo campo de forças
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar o Teorema de Green para calcular o trabalho total realizado ao mover um objeto uma vez ao redor de uma circunferência de raio
, no sentido anti-horário. O movimento é causado por um campo de forças dado por:
Para resolver isso, vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada à integral dupla sobre a região interna dessa curva.
Passo 2
O Teorema de Green nos diz que:
Aqui,
, então identificamos:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Agora, observamos que a região
é uma circunferência centrada na origem com raio
. Quando integramos
sobre uma região simétrica em relação ao eixo
, essa parte da integral será zero porque as contribuições positivas e negativas se cancelam. Então, ficamos apenas com:
Passo 6
Essa integral é simplesmente a área da circunferência:
Resposta
O trabalho total realizado é
.
Exercícios relacionados
Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios e quais são limitados.
(e)
(e)
Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios e quais são limitados.
(d)
(d)
Em cada um dos itens abaixo, use o exercício anterior para calcular a área da região dada.
(b) A região cuja fronteira é a circunferência .
(b) A região cuja fronteira é a circunferência
Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
(a) , onde
é a curva fechada determinada pelo eixo-
, pela reta
e pela curva
.
(a)