Use o Teorema de Green para encontrar o trabalho total realizado ao mover um objeto no sentido anti-horário, uma vez em torno da circunferência x^2 + y^2 = a^2, se o movimento for causado pelo campo de forças F(x, y) = (sen(x) - y) * i + (e^y - x^2) * j.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar o Teorema de Green para calcular o trabalho total realizado ao mover um objeto uma vez ao redor de uma circunferência de raio , no sentido anti-horário. O movimento é causado por um campo de forças dado por:
Para resolver isso, vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada à integral dupla sobre a região interna dessa curva.

Passo 2

O Teorema de Green nos diz que:
Aqui, , então identificamos:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Então, a integral dupla fica:

Passo 5

Agora, observamos que a região é uma circunferência centrada na origem com raio . Quando integramos sobre uma região simétrica em relação ao eixo , essa parte da integral será zero porque as contribuições positivas e negativas se cancelam. Então, ficamos apenas com:

Passo 6

Essa integral é simplesmente a área da circunferência:
Á

Resposta

O trabalho total realizado é .

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