Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral. integral 6 sec ^2(pi x / 2) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar que a integral da é uma função que conhecemos bem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a integral de integral sec^2(u) du = tan(u) + C em relação a é , onde é a constante de integração. Ou seja:
Isso é importante porque nossa integral tem a forma de alguma coisa.

Passo 3

No nosso caso, temos . Vamos identificar o que está dentro da função , que é . Isso significa que usamos uma substituição para facilitar a integração.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição:
u = pi x2
Agora, precisamos encontrar du = pi2 dx implies dx = 2pi du :
Agora, substituímos na integral original.

Passo 5

Substituindo integral 6 sec^2(pi x2) dx = 6 integral sec^2(u) cdot 2pi du = 12pi integral sec^2(u) du e na integral:
Agora, aplicamos a fórmula da integral da .

Passo 6

Integrando:
12pi integral sec^2(u) du = 12pi tan(u) + C
Agora, substituímos de volta em termos de .

Passo 7

Voltando para 12pi tan(pi x2) + C :
E esse é o resultado final da nossa integral.

Resposta

integral 6 sec^2(pi x2) dx = 12pi tan(pi x2) + C

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