Verifique se o resultado para a integral está correto ou não. integral tan (x) d x=-ln (cos (x))+c.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se a integral de tan(x) em relação a x é igual a -ln(cos(x)) + C. Para resolver isso, vamos lembrar das propriedades da função tangente e das integrais envolvendo funções trigonométricas.

Passo 2

Sabemos que a função tangente pode ser escrita como:
tan(x) = sin(x)cos(x)
Então, a integral que queremos verificar fica:
integral tan(x) , dx = integral sin(x)cos(x) , dx

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar uma técnica chamada substituição. Vamos definir uma nova variável:
u = cos(x)
Agora, derivamos u em relação a x:
dudx = -sin(x) Rightarrow du = -sin(x) , dx
Isso significa que:
-sin(x) , dx = du Rightarrow sin(x) , dx = -du

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral sin(x)cos(x) , dx = integral -duu = -integral 1u , du

Passo 5

A integral de 1u em relação a u é conhecida:
integral 1u , du = ln|u| + C
Portanto:
-integral 1u , du = -ln|u| + C = -ln|cos(x)| + C

Passo 6

Simplificando, obtemos:
integral tan(x) , dx = -ln(cos(x)) + C

Resposta

Sim, o resultado para a integral está correto: integral tan(x) , dx = -ln(cos(x)) + C.

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