Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral. integral 4 tan ^3(x) sec ^2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades das funções e , além de saber como aplicar técnicas de substituição na integração.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a integral: . Perceba que temos um fator de , que é a derivada de . Isso sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos fazer a substituição du = sec^2(x) , dx . Então, precisamos encontrar :
Perceba que , o que aparece na nossa integral original.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral 4 tan^3(x) sec^2(x) , dx = 4 integral u^3 , du
Aqui, simplificamos a integral em termos de , tornando-a mais fácil de resolver.

Passo 5

Agora, vamos integrar 4 integral u^3 , du = 4 ( u^44 ) + C = u^4 + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos u^4 + C = tan^4(x) + C de volta para :

Resposta

A integral integral 4 tan^3(x) sec^2(x) , dx = tan^4(x) + C é igual a , onde é a constante de integração.

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