Verifique se o resultado para a integral está correto ou não. integral ln (x) d x=x cdot ln (x)-x+c.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente precisa verificar se o resultado da integral está certo ou não. Vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes, que é essencial pra resolver integrais envolvendo o logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Isso significa que a gente escolhe uma parte da função para ser e outra para ser , e então aplica a fórmula.

Passo 3

No nosso caso, a função que vamos integrar é u = ln(x) e dv = dx . Para aplicar a integração por partes, vamos escolher:
du = 1x , dx e v = integral dv = integral dx = x
Agora, precisamos calcular e :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral ln(x) , dx = u cdot v - integral v , du = ln(x) cdot x - integral x cdot 1x , dx
Simplificando a integral restante:
integral x cdot 1x , dx = integral 1 , dx = x

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original:
integral ln(x) , dx = x cdot ln(x) - x + c

Resposta

Sim, o resultado está correto. A integral de em relação a é de fato .

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