Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral. integral 6 x raiz4+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de integração por substituição, que é uma técnica usada para simplificar integrais complicadas. Para resolver isso, a gente vai precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais fácil de trabalhar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos chamar:
u = 4 + x^2
Agora, vamos derivar dudx = 2x em relação a du = 2x , dx para encontrar 6x , dx = 3 cdot 2x , dx = 3 , du :
integral 6x raiz4 + x^2 , dx = integral 3 raizu , du
Isso significa que:
Observa que na nossa integral temos , então podemos escrever:
Então, a integral original fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar em termos de integral 3 u^1/2 , du . Lembre-se que 3 cdot u^3/23/2 = 3 cdot 23 u^3/2 = 2 u^3/2 , então:
2 (4 + x^2)^3/2 + C
A regra de integração para é , então:
Agora, vamos substituir de volta por :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a .

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