Em cada um dos itens abaixo, calcule a integral usando coordenadas cilíndricas.
(a) , onde é o sólido situado entre o cone e o cilindro , acima do plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos uma integral tripla usando coordenadas cilíndricas. O que isso significa? Básicamente, estamos lidando com um sólido no espaço definido entre um cone e um cilindro, acima do plano . Precisamos calcular a integral de sobre esse sólido. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam quando lidamos com simetrias circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o sólido que estamos lidando. Temos dois limites:
O cone: . Em coordenadas cilíndricas, isso vira , já que e .
O cilindro: , que em coordenadas cilíndricas é simplesmente .
Então, nosso sólido está entre (plano) e (cone), com o raio variando de 0 a 3.
Passo 3
Agora, vamos expressar a função que queremos integrar, , em coordenadas cilíndricas. Sabemos que . E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .
Então, nossa integral tripla fica:
Passo 4
Vamos simplificar a integral:
Começamos integrando em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, integramos em relação a integral0^3 r^4 , dr = r^55 |0^3 = 3^55 = 2435 :
integral0^2pi 2435 , dtheta
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Por fim, integramos em relação a integral0^2pi 2435 , dtheta = 2435 cdot theta |0^2pi = 2435 cdot 2pi = 486pi5 :