Em cada um dos itens abaixo, calcule a integral usando coordenadas cilíndricas.
(a) integral triplaS(x^2+y^2) d x d y d z, onde S é o sólido situado entre o cone z^2=x^2+y^2 e o cilindro x^2+y^2=9, acima do plano z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos uma integral tripla usando coordenadas cilíndricas. O que isso significa? Básicamente, estamos lidando com um sólido no espaço definido entre um cone e um cilindro, acima do plano . Precisamos calcular a integral de sobre esse sólido. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam quando lidamos com simetrias circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o sólido que estamos lidando. Temos dois limites:
  1. O cone: . Em coordenadas cilíndricas, isso vira , já que e .
  2. O cilindro: , que em coordenadas cilíndricas é simplesmente .
Então, nosso sólido está entre (plano) e (cone), com o raio variando de 0 a 3.

Passo 3

Agora, vamos expressar a função que queremos integrar, integral triplaS (x^2 + y^2) , dx , dy , dz = integral0^2pi integral0^3 integral0^r r^2 cdot r , dz , dr , dtheta , em coordenadas cilíndricas. Sabemos que . E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .
Então, nossa integral tripla fica:

Passo 4

Vamos simplificar a integral:
integral0^2pi integral0^3 integral0^r r^3 , dz , dr , dtheta
Começamos integrando em relação a integral0^r r^3 , dz = r^3 cdot z |0^r = r^4 :
integral0^2pi integral0^3 r^4 , dr , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, integramos em relação a integral0^3 r^4 , dr = r^55 |0^3 = 3^55 = 2435 :
integral0^2pi 2435 , dtheta
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Por fim, integramos em relação a integral0^2pi 2435 , dtheta = 2435 cdot theta |0^2pi = 2435 cdot 2pi = 486pi5 :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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