Um corredor parte do repouso e corre numa pista circular em um único sentido. Ele para quando chega ao ponto de partida. Mostre que, pelo menos, uma vez durante esta volta, ele deve ter desenvolvido a mesma velocidade em pontos diametralmente opostos.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá perguntando. Um corredor começa do zero, corre numa pista redonda em um sentido só e para quando volta pro ponto de partida. A pergunta é para mostrar que, pelo menos uma vez durante essa volta, ele teve a mesma velocidade em pontos que estão diametralmente opostos na pista. Vamos usar conceitos de cinemática e um pouco de cálculo pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, imagina a pista como um círculo. Se escolhermos dois pontos diametralmente opostos, eles estão exatamente de lados opostos do círculo. A ideia é mostrar que há um instante em que a velocidade do corredor em um ponto é igual à velocidade no ponto oposto.
Passo 3
Vamos pensar na função que representa a velocidade do corredor ao longo do tempo. Como ele começa do repouso (velocidade zero) e para de novo no ponto de partida (velocidade zero), sabemos que a velocidade varia durante o percurso.
Passo 4
Agora, imagine fixar dois pontos opostos na pista. Conforme o corredor passa por esses pontos durante a corrida, a velocidade dele muda. Queremos provar que existe um momento em que as velocidades nesses dois pontos são iguais.
Passo 5
Aqui entra o Teorema de Rolle, que é uma ferramenta do cálculo que nos ajuda a encontrar pontos onde a derivada (neste caso, a mudança de velocidade) é igual em dois pontos. Aplicando esse teorema, podemos concluir que deve haver pelo menos um instante onde as velocidades nos pontos opostos são iguais.
Resposta
Portanto, usando o Teorema de Rolle e analisando a variação da velocidade do corredor ao longo da pista, mostramos que, pelo menos uma vez durante a volta, ele desenvolve a mesma velocidade em pontos diametralmente opostos.