Considere
funções contínuas tais que
. Mostre que existe
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá duas funções contínuas,
e
, definidas no intervalo
. Sabemos que em
,
e em
,
. Nosso objetivo é provar que existe pelo menos um ponto
dentro do intervalo
onde
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que é super útil quando estamos lidando com funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o problema criando uma nova função que representa a diferença entre
e
. Vamos definir:
Como
e
são funções contínuas no intervalo
, a função
também será contínua nesse intervalo (porque a soma e a subtração de funções contínuas são contínuas).
Passo 3
Agora, vamos calcular os valores de
nas extremidades do intervalo:
Então, temos que
é negativo e
é positivo.
Passo 4
Aqui entra o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos nos extremos de um intervalo, então existe pelo menos um ponto dentro desse intervalo onde a função assume o valor zero. Aplicando isso à nossa função
:
Isso significa que:
Resposta
Portanto, existe um ponto
onde
.