Em cada um dos itens abaixo, calcule a integral usando coordenadas esféricas.
© integral triplaS d x d y d zraiz(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2, onde S é a bola de raio R centrada na origem e (a, b, c) é um ponto fixo fora desta bola;

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. Estamos trabalhando com uma bola de raio centrada na origem do sistema de coordenadas, e temos um ponto fixo que está fora dessa bola. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar para coordenadas esféricas e calcular o volume dentro dessa bola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas esféricas. Em vez de usar x = rho sin phi cos theta y = rho sin phi sin theta z = rho cos phi , e , usamos (a distância do ponto à origem), (o ângulo no plano ) e (o ângulo entre o vetor e o eixo ). A conversão é dada por:
Isso nos ajuda a simplificar integrais que têm simetria esférica.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que está dentro da integral em termos dessas coordenadas esféricas. A expressão representa a distância entre um ponto arbitrário na bola e o ponto fixo . Em coordenadas esféricas, isso fica um pouco mais complicado, mas vamos continuar.

Passo 4

Precisamos encontrar os limites de integração. Como estamos integrando sobre a bola de raio centrada na origem, varia de 0 a , varia de 0 a (uma volta completa ao redor do eixo ), e varia de 0 a (do topo ao fundo da esfera).

Passo 5

O próximo passo é expressar o elemento de volume dx , dy , dz = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta em coordenadas esféricas. Sabemos que:
Esse termo é essencial para mudar a integral para coordenadas esféricas.

Passo 6

Agora, montamos a integral em coordenadas esféricas. Substituindo tudo, temos:
Essa expressão ainda parece complicada, mas podemos simplificar usando simetrias e propriedades de integrais em coordenadas esféricas.

Passo 7

Observamos que, devido à simetria, a integral pode ser simplificada utilizando o fato de que o ponto está fora da bola. Isso permite usar métodos de integração simplificados ou até mesmo resultados conhecidos de integrais similares em física, como potenciais gravitacionais ou elétricos.

Passo 8

Após realizar os cálculos e simplificações necessárias, chegamos à resposta final. O resultado da integral é:
4pi Rraiza^2 + b^2 + c^2

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados