Então, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. Estamos trabalhando com uma bola de raio centrada na origem do sistema de coordenadas, e temos um ponto fixo que está fora dessa bola. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar para coordenadas esféricas e calcular o volume dentro dessa bola.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas esféricas. Em vez de usar , e , usamos (a distância do ponto à origem), (o ângulo no plano ) e (o ângulo entre o vetor e o eixo ). A conversão é dada por:
Isso nos ajuda a simplificar integrais que têm simetria esférica.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que está dentro da integral em termos dessas coordenadas esféricas. A expressão representa a distância entre um ponto arbitrário na bola e o ponto fixo . Em coordenadas esféricas, isso fica um pouco mais complicado, mas vamos continuar.
Passo 4
Precisamos encontrar os limites de integração. Como estamos integrando sobre a bola de raio centrada na origem, varia de 0 a , varia de 0 a (uma volta completa ao redor do eixo ), e varia de 0 a (do topo ao fundo da esfera).
Passo 5
O próximo passo é expressar o elemento de volume dx , dy , dz = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta em coordenadas esféricas. Sabemos que:
Esse termo é essencial para mudar a integral para coordenadas esféricas.
Passo 6
Agora, montamos a integral em coordenadas esféricas. Substituindo tudo, temos:
Essa expressão ainda parece complicada, mas podemos simplificar usando simetrias e propriedades de integrais em coordenadas esféricas.
Passo 7
Observamos que, devido à simetria, a integral pode ser simplificada utilizando o fato de que o ponto está fora da bola. Isso permite usar métodos de integração simplificados ou até mesmo resultados conhecidos de integrais similares em física, como potenciais gravitacionais ou elétricos.
Passo 8
Após realizar os cálculos e simplificações necessárias, chegamos à resposta final. O resultado da integral é: