Calcule o wronskiano das soluções LI da EDO escalar.
Passo 1
Vamos calcular o wronskiano de três soluções linearmente independentes de uma equação diferencial ordinária (EDO) escalar. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e derivadas.
Passo 2
Primeiro, o que é o wronskiano? O wronskiano é uma ferramenta que usamos para verificar se um conjunto de soluções de uma EDO é linearmente independente. Se o wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, as soluções são independentes.
Passo 3
Para calcular o wronskiano de três funções, a gente monta uma matriz onde cada coluna representa uma das funções e suas derivadas até a segunda ordem. Assim, nossa matriz fica assim:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser encontrado usando a regra de Sarrus ou pela expansão de cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para simplificar.
Passo 5
Aplicando a regra de Sarrus, o determinante fica:
Passo 6
Esse resultado nos dá o wronskiano das três soluções. Se , isso confirma que as soluções são linearmente independentes, ou seja, nenhuma delas pode ser escrita como combinação linear das outras.