Calcule o wronskiano w(y1, y2, y3) das soluções LI da EDO escalar.

Passo 1

Vamos calcular o wronskiano de três soluções linearmente independentes de uma equação diferencial ordinária (EDO) escalar. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e derivadas.

Passo 2

Primeiro, o que é o wronskiano? O wronskiano é uma ferramenta que usamos para verificar se um conjunto de soluções de uma EDO é linearmente independente. Se o wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, as soluções são independentes.

Passo 3

Para calcular o wronskiano de três funções, a gente monta uma matriz onde cada coluna representa uma das funções e suas derivadas até a segunda ordem. Assim, nossa matriz fica assim:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser encontrado usando a regra de Sarrus ou pela expansão de cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para simplificar.

Passo 5

Aplicando a regra de Sarrus, o determinante fica:

Passo 6

Esse resultado nos dá o wronskiano das três soluções. Se , isso confirma que as soluções são linearmente independentes, ou seja, nenhuma delas pode ser escrita como combinação linear das outras.

Resposta

Portanto, o wronskiano é:

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