lim x 0 sin (2 x)-2 sin (x)x^3

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem que resolver o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Vamos usar conhecimentos de limites e as expansões em série de Taylor para funções trigonométricas. Precisamos entender como se comporta perto de 0 para simplificar essa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função seno pode ser aproximada por sua série de Taylor quando sin(x) = x - x^36 + x^5120 - dots está perto de 0:
Como estamos lidando com potências até no denominador, vamos usar essa aproximação até o termo de .

Passo 3

Vamos substituir sin(2x) = 2x - (2x)^36 + dots = 2x - 8x^36 + dots = 2x - 4x^33 + dots e sin(x) = x - x^36 + dots pela aproximação na série de Taylor:

Passo 4

Agora, substituímos essas aproximações na expressão original:
sin(2x) - 2sin(x) = (2x - 4x^33) - 2(x - x^36)
Vamos distribuir o 2 dentro do parêntese:
= 2x - 4x^33 - 2x + 2x^36
Simplificando:
= (2x - 2x) + (-4x^33 + x^33) = 0 - 3x^33 = -x^3

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão do limite:
limx to 0 sin(2x) - 2sin(x)x^3 = limx to 0 -x^3x^3 = limx to 0 -1 = -1

Resposta

O limite é .

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