Passo 1
Beleza, galera! A gente tem que resolver o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Vamos usar conhecimentos de limites e as expansões em série de Taylor para funções trigonométricas. Precisamos entender como
se comporta perto de 0 para simplificar essa expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função seno pode ser aproximada por sua série de Taylor quando
está perto de 0:
Como estamos lidando com potências até
no denominador, vamos usar essa aproximação até o termo de
.
Passo 3
Vamos substituir
e
pela aproximação na série de Taylor:
Passo 4
Agora, substituímos essas aproximações na expressão original:
Vamos distribuir o 2 dentro do parêntese:
Simplificando:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na expressão do limite:
Resposta
O limite é
.