lim x 0 e^x-1-x-x^2 / 2x^4

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para calcular o limite quando lim x 0 e^x-1-x-x^22x^4 se aproxima de 0 da expressão:
Estamos lidando com limites e exponenciais, então vamos precisar usar séries de Taylor para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir e^x = 1 + x + x^22 + x^36 + x^424 + dots em uma série de Taylor em torno de . A série de Taylor de é:
Essa expansão nos permite substituir por uma série infinita de termos com potências de .

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expansão na expressão original:
e^x - 1 - x - x^22 = (1 + x + x^22 + x^36 + x^424 + dots) - 1 - x - x^22
Simplificando, os termos e^x - 1 - x - x^22 = x^36 + x^424 + dots , e se cancelam:

Passo 4

Agora, vamos dividir essa expressão por e^x-1-x-x^22x^4 = x^36 + x^424 + dotsx^4 = x^36x^4 + x^424x^4 + dots = 16x + 124 + dots :
Perceba que e .

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece quando lim x 0 ( 16x + 124 + dots ) se aproxima de 0:
O termo tende para infinito quando se aproxima de 0, pois estamos dividindo 1 por um número cada vez menor.

Resposta

Portanto, o limite é infinito:
lim x 0 e^x-1-x-x^22x^4 = +infty

Exercícios relacionados