Em cada um dos itens abaixo calcule os limites laterais (se existirem) e discuta a existência do limite no ponto a indicado:
  1. a = 2, f(x) = ((x^2 - 4)^2) / ((x - 2)^2 * (x + 3))
  2. a = 0, f(x) = (e^x - 1) / (e^x + 1)
  3. a=1, f(x)=ln(x^2)/(2x-4)
  4. a=1, f(x)=|x-1|/(x^2-1)

Passo 1

Vamos resolver o primeiro item do exercício. O enunciado nos pede para calcular os limites laterais (se existirem) e discutir a existência do limite no ponto para a função:
Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de limites de funções racionais. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e analisar o comportamento da função nos arredores de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Observamos que pode ser fatorado:
Portanto, a função fica:
Podemos cancelar no numerador e denominador:
Após a simplificação, a função fica mais fácil de analisar.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 2. Substituímos por 2 na função simplificada:
Como a função simplificada é contínua em , os limites laterais existem e são iguais.

Passo 4

Agora, vamos resolver o segundo item. O enunciado nos pede para calcular os limites laterais (se existirem) e discutir a existência do limite no ponto para a função:
Estamos novamente trabalhando com limites de funções exponenciais. Precisamos analisar o comportamento da função nos arredores de .

Passo 5

Primeiro, observamos que a função é contínua para todo real, pois o denominador nunca é zero. Portanto, podemos calcular o limite diretamente substituindo por 0:
Como a função é contínua em , os limites laterais existem e são iguais.

Passo 6

Agora, vamos para o terceiro item. O enunciado nos pede para calcular os limites laterais (se existirem) e discutir a existência do limite no ponto para a função:
Aqui, estamos trabalhando com limites que envolvem funções logarítmicas e polinomiais. Precisamos analisar o comportamento da função em .

Passo 7

Primeiro, simplificamos a expressão. Sabemos que , então:
Agora, analisamos o limite quando se aproxima de 1:
A função é contínua em (pois o denominador não é zero), então os limites laterais existem e são iguais.

Passo 8

Finalmente, vamos resolver o quarto item. O enunciado nos pede para calcular os limites laterais (se existirem) e discutir a existência do limite no ponto para a função:
Estamos lidando com uma função que envolve valor absoluto e uma função racional. Precisamos analisar o comportamento da função em .

Passo 9

Primeiro, notamos que pode ser fatorado:
Então, a função fica:
Podemos simplificar o valor absoluto dependendo do sinal de .
Para , :
Para , :

Passo 10

Agora, calculamos os limites laterais:
Limite pela direita ( ):
Limite pela esquerda ( ):

Resposta

Os limites laterais de quando se aproxima de 1 são pela direita e pela esquerda. Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe em .

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