Em cada um dos itens abaixo calcule os limites laterais (se existirem) e discuta a existência do limite no ponto
indicado:
-
-
-
-
Passo 1
Vamos resolver o primeiro item do exercício. O enunciado nos pede para calcular os limites laterais (se existirem) e discutir a existência do limite no ponto
para a função:
Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de limites de funções racionais. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e analisar o comportamento da função nos arredores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Observamos que
pode ser fatorado:
Portanto, a função fica:
Podemos cancelar
no numerador e denominador:
Após a simplificação, a função fica mais fácil de analisar.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 2. Substituímos
por 2 na função simplificada:
Como a função simplificada é contínua em
, os limites laterais existem e são iguais.
Passo 4
Agora, vamos resolver o segundo item. O enunciado nos pede para calcular os limites laterais (se existirem) e discutir a existência do limite no ponto
para a função:
Estamos novamente trabalhando com limites de funções exponenciais. Precisamos analisar o comportamento da função nos arredores de
.
Passo 5
Primeiro, observamos que a função é contínua para todo
real, pois o denominador
nunca é zero. Portanto, podemos calcular o limite diretamente substituindo
por 0:
Como a função é contínua em
, os limites laterais existem e são iguais.
Passo 6
Agora, vamos para o terceiro item. O enunciado nos pede para calcular os limites laterais (se existirem) e discutir a existência do limite no ponto
para a função:
Aqui, estamos trabalhando com limites que envolvem funções logarítmicas e polinomiais. Precisamos analisar o comportamento da função em
.
Passo 7
Primeiro, simplificamos a expressão. Sabemos que
, então:
Agora, analisamos o limite quando
se aproxima de 1:
A função é contínua em
(pois o denominador não é zero), então os limites laterais existem e são iguais.
Passo 8
Finalmente, vamos resolver o quarto item. O enunciado nos pede para calcular os limites laterais (se existirem) e discutir a existência do limite no ponto
para a função:
Estamos lidando com uma função que envolve valor absoluto e uma função racional. Precisamos analisar o comportamento da função em
.
Passo 9
Primeiro, notamos que
pode ser fatorado:
Então, a função fica:
Podemos simplificar o valor absoluto dependendo do sinal de
.
Para
,
:
Para
,
:
Passo 10
Agora, calculamos os limites laterais:
Limite pela direita (
):
Limite pela esquerda (
):
Resposta
Os limites laterais de
quando
se aproxima de 1 são
pela direita e
pela esquerda. Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe em
.
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e
de modo que
Seja
tal que
para todo
. Calcule
.
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e
tais que
-
e -
e -
e -
e
Calcular, por integração, a área da região limitada
e