Calcular, por integração, a área da região limitada y = 1/2, y = x^2 e y = -x + 2

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área da região limitada pelas curvas , e usando integração. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, onde usamos integrais para encontrar áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos de interseção dessas curvas e definir os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as curvas se cruzam. Isso significa resolver o sistema de equações para encontrar os valores de que satisfazem duas equações ao mesmo tempo.
Vamos encontrar onde se intercepta com :
Agora, vamos encontrar onde se intercepta com :
Por fim, encontramos onde se intercepta com :
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, ou .

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção, vamos analisar qual curva está acima da outra dentro do intervalo de integração.
Observando os valores de :
  • Entre e , está abaixo de .
  • Entre e , está acima de .
  • Entre e , está acima de .

Passo 4

Com base nisso, dividimos a área em duas partes para facilitar o cálculo:
  1. Primeira parte: entre e , onde a curva superior é e a curva inferior é .
  2. Segunda parte: entre e , onde a curva superior é e a curva inferior é .
Agora, configuramos as integrais:
Á

Resposta

Calculando as integrais:
Á
Resolvendo cada integral:
Á
Calculando os limites:
Primeira integral:
Segunda integral:
Somando as duas áreas:
Á
Portanto, a área da região limitada pelas curvas é aproximadamente 5,29 unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Dê exemplos de funções f e g tais que
  1. lim x 0^+ f(x)=0, lim x 0^+ g(x)=0 e lim x 0^+ f(x)g(x)=+infty
  2. lim x +infty f(x)=0, lim x +infty g(x)=0 e lim x +infty f(x)g(x)=0
  3. lim x 0^+ f(x)g(x)=+infty e lim x +infty f(x)g(x)=1
  4. lim x 0^+ f(x)g(x)=+infty e lim x +infty f(x)g(x)=0
Em cada um dos itens abaixo calcule os limites laterais (se existirem) e discuta a existência do limite no ponto a indicado:
  1. a = 2, f(x) = ((x^2 - 4)^2) / ((x - 2)^2 * (x + 3))
  2. a = 0, f(x) = (e^x - 1) / (e^x + 1)
  3. a=1, f(x)=ln(x^2)/(2x-4)
  4. a=1, f(x)=|x-1|/(x^2-1)
Calcular, por integração, a área da região limitada y = -x^2 e y = -4
Reescreva as expressões abaixo completando o quadrado:
5 x^2 + 10 x + 2