Calcular, por integração, a área da região limitada y = 1/2, y = x^2 e y = -x + 2

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área da região limitada pelas curvas , e usando integração. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, onde usamos integrais para encontrar áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos de interseção dessas curvas e definir os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as curvas se cruzam. Isso significa resolver o sistema de equações para encontrar os valores de que satisfazem duas equações ao mesmo tempo.
Vamos encontrar onde se intercepta com :
Agora, vamos encontrar onde se intercepta com :
Por fim, encontramos onde se intercepta com :
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, ou .

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção, vamos analisar qual curva está acima da outra dentro do intervalo de integração.
Observando os valores de :
  • Entre e , está abaixo de .
  • Entre e , está acima de .
  • Entre e , está acima de .

Passo 4

Com base nisso, dividimos a área em duas partes para facilitar o cálculo:
  1. Primeira parte: entre e , onde a curva superior é e a curva inferior é .
  2. Segunda parte: entre e , onde a curva superior é e a curva inferior é .
Agora, configuramos as integrais:
Á

Resposta

Calculando as integrais:
Á
Resolvendo cada integral:
Á
Calculando os limites:
Primeira integral:
Segunda integral:
Somando as duas áreas:
Á
Portanto, a área da região limitada pelas curvas é aproximadamente 5,29 unidades quadradas.

Exercícios relacionados