Calcular, por integração, a área da região limitada
e
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área da região limitada pelas curvas
,
e
usando integração. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, onde usamos integrais para encontrar áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos de interseção dessas curvas e definir os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as curvas se cruzam. Isso significa resolver o sistema de equações para encontrar os valores de
que satisfazem duas equações ao mesmo tempo.
Vamos encontrar onde
se intercepta com
:
Agora, vamos encontrar onde
se intercepta com
:
Por fim, encontramos onde
se intercepta com
:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então,
ou
.
Passo 3
Agora que temos os pontos de interseção, vamos analisar qual curva está acima da outra dentro do intervalo de integração.
Observando os valores de
:
- Entre
e , está abaixo de . - Entre
e , está acima de . - Entre
e , está acima de .
Passo 4
Com base nisso, dividimos a área em duas partes para facilitar o cálculo:
- Primeira parte: entre
e , onde a curva superior é e a curva inferior é . - Segunda parte: entre
e , onde a curva superior é e a curva inferior é .
Agora, configuramos as integrais:
Resposta
Calculando as integrais:
Resolvendo cada integral:
Calculando os limites:
Primeira integral:
Segunda integral:
Somando as duas áreas:
Portanto, a área da região limitada pelas curvas é aproximadamente 5,29 unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Dê exemplos de funções
e
tais que
-
e -
e -
e -
e
Em cada um dos itens abaixo calcule os limites laterais (se existirem) e discuta a existência do limite no ponto
indicado:
Calcular, por integração, a área da região limitada
e
Reescreva as expressões abaixo completando o quadrado: