Dê exemplos de funções
e
tais que
-
e
-
e
-
e
-
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que estamos pedindo aqui é para encontrar exemplos de funções
e
que satisfaçam certas condições de limites, tanto quando
se aproxima de 0 pela direita quanto quando
vai para mais infinito. Para isso, vamos precisar entender como os limites funcionam e como construir funções que se comportam de acordo com o que é solicitado em cada caso.
Passo 2
1.
,
e
Aqui, queremos que ambas as funções se aproximem de zero quando
se aproxima de 0 pela direita, mas o quociente
cresça sem limites. Isso significa que
deve tender a zero mais lentamente que
.
Exemplo:
Explicação:
À medida que se aproxima de 0, tanto
quanto
tendem a zero. No entanto, o quociente
tende a
quando
se aproxima de 0 pela direita.
À medida que
Passo 3
2.
,
e
Neste caso, queremos que ambas as funções se aproximem de zero quando
vai para mais infinito, mas o quociente
também se aproxime de zero. Isso indica que
deve diminuir para zero mais rapidamente que
.
Exemplo:
Explicação:
À medida que cresce,
e
tendem a zero. O quociente
tende a 0 quando
vai para mais infinito.
À medida que
Passo 4
3.
e
Queremos que o quociente das funções cresça sem limite perto de 0 pela direita e se estabilize em 1 quando
vai para mais infinito. Isso significa que as funções devem ter comportamentos diferentes em cada extremidade.
Exemplo:
Explicação:
Para próximo a 0:
Para
-
-
- Quociente:
(Na verdade, este exemplo não satisfaz o primeiro limite. Vamos ajustar.)
Ajuste:
Vamos escolher:
Vamos escolher:
Então:
-
que tende a quando tende a 0. - Quando
tende a , tende a 0, o que não coincide com o limite desejado de 1.
Correção Final:
Vamos escolher funções que se igualam no infinito:
Vamos escolher funções que se igualam no infinito:
Agora:
-
- Quando
tende a 0, - Quando
tende a ,
Passo 5
4.
e
Aqui, buscamos que o quociente cresça sem limite perto de 0 pela direita e diminua para zero quando
vai para mais infinito. Isso significa que
deve crescer mais rapidamente que
perto de 0, mas desacelerar comparado a
no infinito.
Exemplo:
Explicação:
- Quando
tende a 0+, domina sobre , então , o que não satisfaz o primeiro limite. Vamos ajustar.
Ajuste:
Escolher funções polinomiais:
Escolher funções polinomiais:
Então:
-
que tende a 0 quando tende a 0, não atende.
Nova Tentativa:
Então:
- Quando
tende a 0+, tende a - Quando
tende a , e , então tende a 0
Resposta
-
Para o item 1:
-
-
Para o item 2:
-
-
Para o item 3:
-
-
Para o item 4:
-
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo calcule os limites laterais (se existirem) e discuta a existência do limite no ponto
indicado:
Determine os valores de
e
de modo que
Calcular, por integração, a área da região limitada
e
Calcular, por integração, a área da região limitada
e