Dê exemplos de funções f e g tais que
  1. lim x 0^+ f(x)=0, lim x 0^+ g(x)=0 e lim x 0^+ f(x)g(x)=+infty
  2. lim x +infty f(x)=0, lim x +infty g(x)=0 e lim x +infty f(x)g(x)=0
  3. lim x 0^+ f(x)g(x)=+infty e lim x +infty f(x)g(x)=1
  4. lim x 0^+ f(x)g(x)=+infty e lim x +infty f(x)g(x)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que estamos pedindo aqui é para encontrar exemplos de funções e que satisfaçam certas condições de limites, tanto quando se aproxima de 0 pela direita quanto quando vai para mais infinito. Para isso, vamos precisar entender como os limites funcionam e como construir funções que se comportam de acordo com o que é solicitado em cada caso.

Passo 2

1. , e

Aqui, queremos que ambas as funções se aproximem de zero quando se aproxima de 0 pela direita, mas o quociente cresça sem limites. Isso significa que deve tender a zero mais lentamente que .
Exemplo:
Explicação:
À medida que se aproxima de 0, tanto quanto tendem a zero. No entanto, o quociente tende a quando se aproxima de 0 pela direita.

Passo 3

2. , e

Neste caso, queremos que ambas as funções se aproximem de zero quando vai para mais infinito, mas o quociente também se aproxime de zero. Isso indica que deve diminuir para zero mais rapidamente que .
Exemplo:
Explicação:
À medida que cresce, e tendem a zero. O quociente tende a 0 quando vai para mais infinito.

Passo 4

3. e

Queremos que o quociente das funções cresça sem limite perto de 0 pela direita e se estabilize em 1 quando vai para mais infinito. Isso significa que as funções devem ter comportamentos diferentes em cada extremidade.
Exemplo:
Explicação:
Para próximo a 0:
  • Quociente: (Na verdade, este exemplo não satisfaz o primeiro limite. Vamos ajustar.)
Ajuste:
Vamos escolher:
Então:
  • que tende a quando tende a 0.
  • Quando tende a , tende a 0, o que não coincide com o limite desejado de 1.
Correção Final:
Vamos escolher funções que se igualam no infinito:
Agora:
  • Quando tende a 0,
  • Quando tende a ,

Passo 5

4. e

Aqui, buscamos que o quociente cresça sem limite perto de 0 pela direita e diminua para zero quando vai para mais infinito. Isso significa que deve crescer mais rapidamente que perto de 0, mas desacelerar comparado a no infinito.
Exemplo:
Explicação:
  • Quando tende a 0+, domina sobre , então , o que não satisfaz o primeiro limite. Vamos ajustar.
Ajuste:
Escolher funções polinomiais:
Então:
  • que tende a 0 quando tende a 0, não atende.
Nova Tentativa:
Então:
  • Quando tende a 0+, tende a
  • Quando tende a , e , então tende a 0

Resposta

  1. Para o item 1:
  2. Para o item 2:
  3. Para o item 3:
  4. Para o item 4:

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo calcule os limites laterais (se existirem) e discuta a existência do limite no ponto a indicado:
  1. a = 2, f(x) = ((x^2 - 4)^2) / ((x - 2)^2 * (x + 3))
  2. a = 0, f(x) = (e^x - 1) / (e^x + 1)
  3. a=1, f(x)=ln(x^2)/(2x-4)
  4. a=1, f(x)=|x-1|/(x^2-1)
Determine os valores de a e b de modo que
lim x +infty(3 x^2+b x-1x+2-a x)=0
Calcular, por integração, a área da região limitada y = 1/2, y = x^2 e y = -x + 2
Calcular, por integração, a área da região limitada y = -x^2 e y = -4