Seja f: R R tal que |f(x)| <= x^4 para todo x in R. Calcule lim x 0 f(x)x.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de quando se aproxima de 0, sabendo que a função satisfaz para todo real. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a desigualdade que temos: . Isso significa que o valor absoluto de nunca é maior que para qualquer .

Passo 3

Agora, queremos encontrar |f(x)x| <= |x^4||x| = |x|^3 . Vamos dividir os dois lados da desigualdade por (considerando que ):
Isso nos mostra que o valor absoluto de é menor ou igual a .

Passo 4

Sabemos que quando limx to 0 |x|^3 = 0 se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Ou seja:

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Enforcado ou Squeeze Theorem), se uma função está “presa” entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um ponto, então ela também tem esse limite. Neste caso:
- |x|^3 <= f(x)x <= |x|^3
E como limx to 0 f(x)x = 0 , concluímos que:

Resposta

O limite é 0.

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