Para cada um dos itens abaixo, calcule .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função vetorial . A função dada é:
Aqui, trabalharemos com derivadas de funções trigonométricas e exponenciais, utilizando principalmente a Regra da Cadeia para derivar funções compostas. Vamos dividir a função vetorial em suas duas componentes e derivar cada uma separadamente.

Passo 2

Vamos derivar a primeira componente de :
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da função secante:
Então, a função fica:
Para derivar , usamos a Regra da Cadeia e a derivada da função , que é . Além disso, aplicaremos a Regra da Potência.
Primeiro, aplicamos a regra da potência:
A derivada de será:
Agora, derivamos :
Para derivar , usamos a fórmula da derivada de uma função exponencial com base diferente de :
Juntando tudo, temos:
Simplificando, obtemos:

Passo 3

Agora, vamos derivar a segunda componente de :
Primeiro, devemos interpretar como a função , que é o co-secante. Então, reescrevemos a função:
Para derivar , utilizamos a Regra da Cadeia e a derivada da função , que é . Também aplicaremos a Regra da Potência.
Primeiro, aplicamos a regra da potência:
A derivada de será:
Agora, derivamos :
Para derivar , usamos a fórmula da derivada de uma função exponencial com base diferente de :
Juntando tudo, temos:
Simplificando, obtemos:

Resposta

A derivada da função vetorial é dada por:

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Para cada um dos itens abaixo, calcule .
Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais: