Para cada um dos itens abaixo, calcule
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada
da função vetorial
. A função dada é:
Aqui, trabalharemos com derivadas de funções trigonométricas e exponenciais, utilizando principalmente a Regra da Cadeia para derivar funções compostas. Vamos dividir a função vetorial em suas duas componentes e derivar cada uma separadamente.
Passo 2
Vamos derivar a primeira componente de
:
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da função secante:
Então, a função fica:
Para derivar
, usamos a Regra da Cadeia e a derivada da função
, que é
. Além disso, aplicaremos a Regra da Potência.
Primeiro, aplicamos a regra da potência:
A derivada de
será:
Agora, derivamos
:
Para derivar
, usamos a fórmula da derivada de uma função exponencial com base diferente de
:
Juntando tudo, temos:
Simplificando, obtemos:
Passo 3
Agora, vamos derivar a segunda componente de
:
Primeiro, devemos interpretar como a função , que é o co-secante. Então, reescrevemos a função:
Para derivar
, utilizamos a Regra da Cadeia e a derivada da função , que é . Também aplicaremos a Regra da Potência.
Primeiro, aplicamos a regra da potência:
A derivada de
será:
Agora, derivamos :
Para derivar
, usamos a fórmula da derivada de uma função exponencial com base diferente de
:
Juntando tudo, temos:
Simplificando, obtemos:
Resposta
A derivada
da função vetorial
é dada por:
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Para cada um dos itens abaixo, calcule
.
Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais: