Calcule as seguintes integrais: integral0^2[t^5 i+t e^t^2 j+t^4 cos (t^5) k] d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de uma função vetorial no intervalo de 0 a 2. Estamos lidando com cálculo de integrais aplicadas a vetores. Para resolver isso, vamos precisar integrar cada componente do vetor separadamente. Ou seja, vamos integrar a parte que acompanha o vetor i, a parte com j e a parte com k.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em suas componentes. A integral dada é:
integral0^2[t^5 i + t e^t^2 j + t^4 cos (t^5) k] dt
Isso significa que vamos calcular:
i integral0^2 t^5 dt + j integral0^2 t e^t^2 dt + k integral0^2 t^4 cos(t^5) dt

Passo 3

Vamos começar com a componente i. A integral é:
integral0^2 t^5 dt
Para integrar t^5, usamos a regra da potência. A antiderivada de t^n é t^n+1n+1. Então:
integral t^5 dt = t^66 + C
Onde C é a constante de integração. Mas como estamos fazendo uma integral definida, vamos calcular de 0 a 2:
t^66 |0^2 = 2^66 - 0^66 = 646 = 323

Passo 4

Agora, vamos para a componente j:
integral0^2 t e^t^2 dt
Aqui, usamos uma substituição simples. Vamos deixar u = t^2. Então, du = 2t dt ou dt = du2t. Substituindo na integral:
integral t e^t^2 dt = 12 integral e^u du = 12 e^u + C = 12 e^t^2 + C
Agora, calculamos de 0 a 2:
12 e^t^2 |0^2 = 12 e^4 - 12 e^0 = 12 e^4 - 12

Passo 5

Por fim, vamos para a componente k:
integral0^2 t^4 cos(t^5) dt
Mais uma vez, usamos substituição. Deixamos u = t^5, então du = 5t^4 dt ou dt = du5t^4. Substituindo na integral:
integral t^4 cos(t^5) dt = 15 integral cos(u) du = 15 sin(u) + C = 15 sin(t^5) + C
Calculando de 0 a 2:
15 sin(t^5) |0^2 = 15 sin(32) - 15 sin(0) = 15 sin(32)

Resposta

Juntando todas as componentes que integramos, a integral vetorial é:
323 i + ( 12 e^4 - 12 ) j + 15 sin(32) k

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