Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de uma função vetorial no intervalo de 0 a 2. Estamos lidando com cálculo de integrais aplicadas a vetores. Para resolver isso, vamos precisar integrar cada componente do vetor separadamente. Ou seja, vamos integrar a parte que acompanha o vetor , a parte com e a parte com .
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em suas componentes. A integral dada é:
Isso significa que vamos calcular:
Passo 3
Vamos começar com a componente . A integral é:
Para integrar , usamos a regra da potência. A antiderivada de é . Então:
Onde é a constante de integração. Mas como estamos fazendo uma integral definida, vamos calcular de 0 a 2:
Passo 4
Agora, vamos para a componente :
Aqui, usamos uma substituição simples. Vamos deixar . Então, ou . Substituindo na integral:
Agora, calculamos de 0 a 2:
Passo 5
Por fim, vamos para a componente :
Mais uma vez, usamos substituição. Deixamos , então ou . Substituindo na integral:
Calculando de 0 a 2:
Resposta
Juntando todas as componentes que integramos, a integral vetorial é: