Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de uma função vetorial no intervalo de 0 a 2. Estamos lidando com cálculo de integrais aplicadas a vetores. Para resolver isso, vamos precisar integrar cada componente do vetor separadamente. Ou seja, vamos integrar a parte que acompanha o vetor , a parte com e a parte com .
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em suas componentes. A integral dada é:
Isso significa que vamos calcular:
Passo 3
Vamos começar com a componente . A integral é:
Para integrar , usamos a regra da potência. A antiderivada de é . Então:
Onde é a constante de integração. Mas como estamos fazendo uma integral definida, vamos calcular de 0 a 2:
Passo 4
Agora, vamos para a componente j:
integral0^2 t e^t^2 dt
Aqui, usamos uma substituição simples. Vamos deixar u = t^2. Então, du = 2t dt ou dt = du2t. Substituindo na integral:
integral t e^t^2 dt = 12 integral e^u du = 12 e^u + C = 12 e^t^2 + C
Agora, calculamos de 0 a 2:
12 e^t^2 |0^2 = 12 e^4 - 12 e^0 = 12 e^4 - 12
Passo 5
Por fim, vamos para a componente k:
integral0^2 t^4 cos(t^5) dt
Mais uma vez, usamos substituição. Deixamos u = t^5, então du = 5t^4 dt ou dt = du5t^4. Substituindo na integral:
integral t^4 cos(t^5) dt = 15 integral cos(u) du = 15 sin(u) + C = 15 sin(t^5) + C