Calcule as seguintes integrais: integral1^3[raizt ln (t) i+t^3 e^t j+t^3 sen(t) k] d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral vetorial que você me passou! A questão pede para calcular a integral de um vetor composto por três funções diferentes em cada componente, no intervalo de 1 a 3. Vamos precisar usar técnicas de integração, como substituição e por partes, para cada uma das funções individuais. Então, a gente vai calcular cada componente separadamente e depois juntar tudo no final.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a componente i: raizt ln(t). Para integrar essa função, vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos partes de u e dv de forma que a integral fique mais simples.

Passo 3

Vamos definir:
u = ln(t) Rightarrow du = 1t dt
dv = raizt dt Rightarrow v = 23 t^3/2
Agora aplicamos a fórmula:
integral raizt ln(t) , dt = 23 t^3/2 ln(t) - integral 23 t^3/2 cdot 1t dt
= 23 t^3/2 ln(t) - 23 integral t^1/2 dt
Integrando t^1/2:
integral t^1/2 dt = 23 t^3/2 + C
Então:
integral raizt ln(t) , dt = 23 t^3/2 ln(t) - 23 cdot 23 t^3/2 + C = 23 t^3/2 ln(t) - 49 t^3/2 + C

Passo 4

Agora, vamos para a componente j: t^3 e^t. Aqui, também usamos a integração por partes. Vamos definir:
u = t^3 Rightarrow du = 3 t^2 dt
dv = e^t dt Rightarrow v = e^t
Aplicando a fórmula:
integral t^3 e^t dt = t^3 e^t - integral 3 t^2 e^t dt
Precisamos repetir a integração por partes para integral t^2 e^t dt, e assim por diante, até reduzir o polinômio a zero. Após realizar todas as partes, o resultado será:
integral t^3 e^t dt = e^t (t^3 - 3 t^2 + 6 t - 6) + C

Passo 5

Por último, vamos integrar a componente k: t^3 sin(t). Novamente, usamos integração por partes várias vezes. Definimos:
u = t^3 Rightarrow du = 3 t^2 dt
dv = sin(t) dt Rightarrow v = -cos(t)
Aplicando a fórmula:
integral t^3 sin(t) dt = -t^3 cos(t) + 3 integral t^2 cos(t) dt
Continuamos aplicando integração por partes para integral t^2 cos(t) dt e assim sucessivamente, até resolver todas as integrais. Após todo o processo, o resultado será:
integral t^3 sin(t) dt = -t^3 cos(t) + 3 t^2 sin(t) + 6 t cos(t) - 6 sin(t) + C

Resposta

Juntando todas as componentes integradas e avaliando de 1 a 3, a integral vetorial resulta em:
integral1^3[raizt ln (t) i+t^3 e^t j+t^3 sin(t) k] dt = [ 23 t^3/2 ln(t) - 49 t^3/2 ]1^3 i + [ e^t (t^3 - 3 t^2 + 6 t - 6) ]1^3 j + [ -t^3 cos(t) + 3 t^2 sin(t) + 6 t cos(t) - 6 sin(t) ]1^3 k
Calculando os valores, obtemos o vetor resultado da integral:
&( 23 cdot 3^3/2 ln(3) - 49 cdot 3^3/2 - ( 23 cdot 1^3/2 ln(1) - 49 cdot 1^3/2 ) ) i &+ ( e^3 (27 - 27 + 18 - 6) - e^1 (1 - 3 + 6 - 6) ) j &+ ( -27 cos(3) + 27 sin(3) + 18 cos(3) - 6 sin(3) - ( -1 cos(1) + 3 sin(1) + 6 cos(1) - 6 sin(1) ) ) k
Simplificando:
I + J + K
Onde cada componente I, J e K são os valores numéricos calculados acima.

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