Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral vetorial que você me passou! A questão pede para calcular a integral de um vetor composto por três funções diferentes em cada componente, no intervalo de 1 a 3. Vamos precisar usar técnicas de integração, como substituição e por partes, para cada uma das funções individuais. Então, a gente vai calcular cada componente separadamente e depois juntar tudo no final.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a componente : . Para integrar essa função, vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Escolhemos partes de e de forma que a integral fique mais simples.

Passo 3

Vamos definir:
Agora aplicamos a fórmula:
Integrando :
Então:

Passo 4

Agora, vamos para a componente : . Aqui, também usamos a integração por partes. Vamos definir:
Aplicando a fórmula:
Precisamos repetir a integração por partes para , e assim por diante, até reduzir o polinômio a zero. Após realizar todas as partes, o resultado será:

Passo 5

Por último, vamos integrar a componente : . Novamente, usamos integração por partes várias vezes. Definimos:
Aplicando a fórmula:
Continuamos aplicando integração por partes para e assim sucessivamente, até resolver todas as integrais. Após todo o processo, o resultado será:

Resposta

Juntando todas as componentes integradas e avaliando de 1 a 3, a integral vetorial resulta em:
Calculando os valores, obtemos o vetor resultado da integral:
Simplificando:
Onde cada componente , e são os valores numéricos calculados acima.

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Calcule as seguintes integrais:
Para cada um dos itens abaixo, calcule .
Calcule os comprimentos das seguintes curvas: .
Para cada um dos itens abaixo, calcule .