Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
s)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais da função . Estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, que é parte do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos calcular a derivada com respeito a cada uma das variáveis , , e , tratando as demais como constantes.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial em relação a . Quando derivamos com respeito a , tratamos , e como constantes.
A parte da função que depende de é . Usamos a regra do poder para derivar que fica , então:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Aqui, tratamos , e como constantes.
Temos duas partes que dependem de : e .
Para a primeira parte, a derivada de é . Então, derivando:
Para a segunda parte, a derivada de é . Então:
Somando as duas partes:

Passo 4

Vamos derivar agora em relação a . Tratamos , e como constantes.
A parte que depende de é .
Para , usamos a regra da cadeia. A derivada de é .
Então:
Para , a derivada em relação a é simplesmente .
Então:

Passo 5

Por último, vamos derivar em relação a . Aqui, tratamos , e como constantes.
A única parte que depende de é .
A derivada de é . Então:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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Se qual é ?
Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
h)
Para cada um dos itens abaixo construa uma equação diferencial de primeira ordem tal que todas as soluções tenham a propriedade de . Depois resolva sua equação e confirme que todas as soluções têm, de fato, a propriedade especificada.
a) linear ( resolva a EDO usando o método dos fatores integrantes)