Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
s)
s)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais da função
. Estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, que é parte do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos calcular a derivada com respeito a cada uma das variáveis
,
,
e
, tratando as demais como constantes.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial em relação a
. Quando derivamos com respeito a
, tratamos
,
e
como constantes.
A parte da função que depende de
é
. Usamos a regra do poder para derivar
que fica
, então:
Passo 3
Agora, vamos derivar em relação a
. Aqui, tratamos
,
e
como constantes.
Temos duas partes que dependem de
:
e
.
Para a primeira parte, a derivada de
é
. Então, derivando:
Para a segunda parte, a derivada de
é
. Então:
Somando as duas partes:
Passo 4
Vamos derivar agora em relação a
. Tratamos
,
e
como constantes.
A parte que depende de
é
.
Para
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
.
Então:
Para
, a derivada em relação a
é simplesmente
.
Então:
Passo 5
Por último, vamos derivar em relação a
. Aqui, tratamos
,
e
como constantes.
A única parte que depende de
é
.
A derivada de
é
. Então:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
Exercícios relacionados
Se
qual é
?
Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
h)
h)
Para cada um dos itens abaixo construa uma equação diferencial de primeira ordem tal que todas as soluções tenham a propriedade de
. Depois resolva sua equação e confirme que todas as soluções têm, de fato, a propriedade especificada.
a) linear ( resolva a EDO usando o método dos fatores integrantes)
a) linear ( resolva a EDO usando o método dos fatores integrantes)