Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
h)
h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis,
. O nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a
e a
. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas parciais e como aplicar a regra da cadeia, já que a função é uma composição de funções mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
.
A função pode ser reescrita como
. A gente vai usar a regra da potência e a regra da cadeia para derivar.
Passo 3
Aplicando a regra da potência, a derivada de
em relação a
é:
Aqui, a gente derivou a parte interna
em relação a
, que dá
.
Passo 4
Simplificando a expressão acima:
Agora, multiplicamos isso pela constante 12 que estava na função original:
Passo 5
Agora vamos fazer a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. O processo é bem parecido com o que fizemos para a derivada em relação a
.
Reescrevemos a função:
.
Aplicamos a regra da potência e a regra da cadeia:
Derivamos a parte interna
em relação a
, que dá
.
Passo 6
Simplificando a expressão:
Multiplicando pela constante 12:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e