Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
h) f(x, y) = 12 / raiz(25 - x^2 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis, . O nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a e a . Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas parciais e como aplicar a regra da cadeia, já que a função é uma composição de funções mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante e derivamos em relação a .
A função pode ser reescrita como . A gente vai usar a regra da potência e a regra da cadeia para derivar.

Passo 3

Aplicando a regra da potência, a derivada de em relação a é:
Aqui, a gente derivou a parte interna em relação a , que dá .

Passo 4

Simplificando a expressão acima:
Agora, multiplicamos isso pela constante 12 que estava na função original:

Passo 5

Agora vamos fazer a derivada parcial de em relação a , ou seja, . O processo é bem parecido com o que fizemos para a derivada em relação a .
Reescrevemos a função: .
Aplicamos a regra da potência e a regra da cadeia:
Derivamos a parte interna em relação a , que dá .

Passo 6

Simplificando a expressão:
Multiplicando pela constante 12:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

Exercícios relacionados