Calcule, se possível, as integrais abaixo
(a) integral0^pi / 4 cos ^2(x) sen(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de 0 a . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição. Vamos precisar entender como simplificar expressões trigonométricas e aplicar a substituição adequada para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da integral: integral0^pi4 cos^2(x) cdot 2 sin(x) cos(x) , dx . Sabemos que pode ser escrito usando a identidade trigonométrica . Então, vamos substituir isso na nossa integral:

Passo 3

Agora, multiplicando os termos dentro da integral, temos:
2 integral0^pi4 cos^3(x) cdot sin(x) , dx

Passo 4

Perceba que essa integral tem a forma , onde e está relacionado a . Isso sugere que podemos usar a técnica de substituição. Vamos deixar , mas para simplificar, é melhor considerar .

Passo 5

Vamos definir a substituição:
u = cos^2(x)
Então, a derivada de dudx = -2 cos(x) sin(x) em relação a du = -2 cos(x) sin(x) , dx é:
Ou seja:
Observamos que na nossa integral original temos , podemos reescrever como , que é .

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
2 integral u cdot cos(x) cdot sin(x) , dx
Mas sabemos que 2 integral u cdot (-12 du) = - integral u , du , então substituindo:

Passo 7

Agora, vamos integrar - ( u^22 ) + C :
Onde é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida, não precisamos nos preocupar com .

Passo 8

Vamos voltar para a variável original. Lembrando que - cos^4(x)2 , então:

Passo 9

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a - cos^4(pi4)2 + cos^4(0)2 :

Passo 10

Calculando cos(pi4) = raiz22 e cos(0) = 1 e - (raiz22)^42 + 1^42 = - (416)2 + 12 = - 18 + 12 = 38 :
Então:

Resposta

O valor da integral é .

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