Calcule, se possível, as integrais abaixo
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de
no intervalo de 0 a
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição. Vamos precisar entender como simplificar expressões trigonométricas e aplicar a substituição adequada para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da integral:
. Sabemos que
pode ser escrito usando a identidade trigonométrica
. Então, vamos substituir isso na nossa integral:
Passo 3
Agora, multiplicando os termos dentro da integral, temos:
Passo 4
Perceba que essa integral tem a forma
, onde
e
está relacionado a
. Isso sugere que podemos usar a técnica de substituição. Vamos deixar
, mas para simplificar, é melhor considerar
.
Passo 5
Vamos definir a substituição:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Ou seja:
Observamos que na nossa integral original temos
, podemos reescrever
como
, que é
.
Passo 6
Substituindo na integral, temos:
Mas sabemos que
, então substituindo:
Passo 7
Agora, vamos integrar
:
Onde
é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida, não precisamos nos preocupar com
.
Passo 8
Vamos voltar para a variável original. Lembrando que
, então:
Passo 9
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a
:
Passo 10
Calculando
e
:
Então:
Resposta
O valor da integral é
.