Em cada um dos itens abaixo é dada uma EDO linear não-homogênea e uma solução y1 da equação homogênea associada. Determine em cada caso a solução geral da equação dada.
e) x y'' - 2 x cotg(x) y' + x(1 + 2 cotg^2(x)) y = sen(x) ln(x), x > 0, y1(x) = sen(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear não homogênea. A ideia aqui é achar a solução geral da equação dada usando uma solução conhecida da equação homogênea associada. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre EDOs lineares e métodos para resolver essas equações quando já sabemos uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar nossa análise:
Sabemos que é uma solução da equação homogênea associada, ou seja:

Passo 3

Como já temos uma solução da equação homogênea, podemos usar o método de variação de parâmetros para encontrar uma segunda solução particular . A solução geral será a soma da solução geral da homogênea com a solução particular.

Passo 4

Para aplicar a variação de parâmetros, precisamos achar uma segunda solução linearmente independente. Assumimos que essa solução pode ser escrita como:
onde é uma função que vamos determinar.

Passo 5

Vamos derivar :

Passo 6

Substituímos , e na equação original não homogênea:

Passo 7

Simplificamos os termos:
Perceba que vários termos se cancelam:

Passo 8

Ficamos com:
Simplificamos :
Como , então:
Então, a equação simplifica para:

Passo 9

Dividimos ambos os lados por :
Agora, precisamos integrar para encontrar e .

Passo 10

Integrando :
Sabendo que , temos:
Integrando novamente para encontrar :
Mas podemos ignorar a constante de integração pois já será absorvida na solução geral.

Passo 11

Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação dada é:
onde e são constantes arbitrárias.

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