Em cada um dos itens abaixo é dada uma EDO linear não-homogênea
uma solução
da equação homogênea associada. Determine em cada caso a solução geral da equação dada.
e)
,
.
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear não homogênea. A ideia aqui é achar a solução geral da equação dada usando uma solução conhecida da equação homogênea associada. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre EDOs lineares e métodos para resolver essas equações quando já sabemos uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar nossa análise:
Sabemos que
é uma solução da equação homogênea associada, ou seja:
Passo 3
Como já temos uma solução
da equação homogênea, podemos usar o método de variação de parâmetros para encontrar uma segunda solução particular
. A solução geral será a soma da solução geral da homogênea com a solução particular.
Passo 4
Para aplicar a variação de parâmetros, precisamos achar uma segunda solução linearmente independente. Assumimos que essa solução pode ser escrita como:
onde
é uma função que vamos determinar.
Passo 5
Vamos derivar
:
Passo 6
Substituímos
,
e
na equação original não homogênea:
Passo 7
Simplificamos os termos:
Perceba que vários termos se cancelam:
Passo 8
Ficamos com:
Simplificamos
:
Como , então:
Como
Então, a equação simplifica para:
Passo 9
Dividimos ambos os lados por
:
Agora, precisamos integrar para encontrar
e
.
Passo 10
Integrando
:
Sabendo que
, temos:
Integrando novamente para encontrar
:
Mas podemos ignorar a constante de integração
pois já será absorvida na solução geral.
Passo 11
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação dada é:
onde
e
são constantes arbitrárias.