Calcule integral(x^2-1)^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo integral, especificamente à técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar escolher uma parte da função para substituir por uma variável , simplificando a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que, ao ser substituída, facilite a integral. Observamos que u = x^2 - 1 é uma função composta, então vamos definir:
Isso significa que é igual a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x em relação a du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2 , ou seja, . Calculando:
Isso pode ser rearranjado para encontrar em termos de :

Passo 4

Com as substituições definidas, vamos reescrever a integral original em termos de integral(x^2-1)^3 x , dx = integral u^3 cdot du2 = 12 integral u^3 , du :
Aqui, simplificamos a integral dividindo por 2.

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^3 , du = u^44 + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Multiplicando pelo 12 cdot u^44 = u^48 + C que está na frente da integral, temos:

Passo 7

Finalmente, substituímos (x^2 - 1)^48 + C de volta pela expressão original :

Resposta

A integral é igual a .

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