Uma massa de 3 kg estica um mola em 3 m . A partir da posição de equilíbrio, a massa é deslocada 1 m para cima e colocada em movimento com uma velocidade de para baixo. Assumindo que não haja atrito, determine a posição da massa em qualquer instante de tempo. Determine a frequência, o período, a amplitude e a fase do movimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema massa-mola onde uma massa de 3 kg estica uma mola em 3 metros. A gente vai usar os conceitos de Movimento Harmônico Simples (MHS) pra resolver isso. Precisamos entender como calcular a posição da massa em qualquer instante de tempo, além de descobrir a frequência, o período, a amplitude e a fase desse movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a constante elástica da mola, que é representada por . Quando a massa está em equilíbrio, a força da mola iguala o peso da massa. A fórmula é:
Onde:
  • (massa)
  • (aceleração da gravidade)
  • (alongamento da mola)
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos calcular a frequência angular do sistema. A frequência angular é dada por:
Substituindo e :

Passo 4

A solução geral para a posição no Movimento Harmônico Simples é:
Onde:
  • é a amplitude
  • é a frequência angular
  • é a fase inicial
Nossa missão é descobrir e usando as condições iniciais fornecidas.

Passo 5

As condições iniciais dizem que:
  • No tempo , a massa está deslocada para cima, então .
  • A velocidade inicial é para baixo, ou seja, .
Vamos usar essas condições na equação da posição e na derivada da posição (que dá a velocidade).
Para :
Para , derivando :
Então, para :

Passo 6

Agora temos o sistema de equações:
Primeiro, vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar :
Isolando :
Então,
Agora, usando a primeira equação para achar :

Passo 7

Agora que temos e , podemos escrever a função posição completa:

Passo 8

Vamos calcular a frequência e o período :

Resposta

A posição da massa em qualquer instante de tempo é dada por:
Além disso:
  • Frequência:
  • Período:
  • Amplitude:
  • Fase:

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo é dada uma EDO linear não-homogênea uma solução da equação homogênea associada. Determine em cada caso a solução geral da equação dada.
e) , .
Calcule
A uma mola de constante elástica é atada uma massa de 1 kg . A massa sofre ação de uma força externa de . Se a massa é colocada em movimento de sua posição de equilíbrio e com velocidade inicial zero, determine:
c) qual é o comportamento da solução obtida em b) quando ;
Determinar a derivada das seguintes funçöes: