Uma massa de 3 kg estica um mola em 3 m . A partir da posição de equilíbrio, a massa é deslocada 1 m para cima e colocada em movimento com uma velocidade de
para baixo. Assumindo que não haja atrito, determine a posição da massa em qualquer instante de tempo. Determine a frequência, o período, a amplitude e a fase do movimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema massa-mola onde uma massa de 3 kg estica uma mola em 3 metros. A gente vai usar os conceitos de Movimento Harmônico Simples (MHS) pra resolver isso. Precisamos entender como calcular a posição da massa em qualquer instante de tempo, além de descobrir a frequência, o período, a amplitude e a fase desse movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a constante elástica da mola, que é representada por
. Quando a massa está em equilíbrio, a força da mola iguala o peso da massa. A fórmula é:
Onde:
-
(massa) -
(aceleração da gravidade) -
(alongamento da mola)
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos calcular a frequência angular
do sistema. A frequência angular é dada por:
Substituindo
e
:
Passo 4
A solução geral para a posição
no Movimento Harmônico Simples é:
Onde:
-
é a amplitude -
é a frequência angular -
é a fase inicial
Nossa missão é descobrir
e
usando as condições iniciais fornecidas.
Passo 5
As condições iniciais dizem que:
- No tempo
, a massa está deslocada para cima, então . - A velocidade inicial é
para baixo, ou seja, .
Vamos usar essas condições na equação da posição e na derivada da posição (que dá a velocidade).
Para
:
Para
, derivando
:
Então, para
:
Passo 6
Agora temos o sistema de equações:
Primeiro, vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar
:
Isolando
:
Então,
Agora, usando a primeira equação para achar
:
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos escrever a função posição completa:
Passo 8
Vamos calcular a frequência
e o período
:
Resposta
A posição da massa em qualquer instante de tempo é dada por:
Além disso:
- Frequência:
- Período:
- Amplitude:
- Fase:
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo é dada uma EDO linear não-homogênea
uma solução
da equação homogênea associada. Determine em cada caso a solução geral da equação dada.
e) ,
.
e)
Calcule
A uma mola de constante elástica
é atada uma massa de 1 kg . A massa sofre ação de uma força externa de
. Se a massa é colocada em movimento de sua posição de equilíbrio e com velocidade inicial zero, determine:
c) qual é o comportamento da solução obtida em b) quando ;
c) qual é o comportamento da solução obtida em b) quando
Determinar a derivada das seguintes funçöes: