A uma mola de constante elástica
é atada uma massa de 1 kg . A massa sofre ação de uma força externa de
. Se a massa é colocada em movimento de sua posição de equilíbrio e com velocidade inicial zero, determine:
c) qual é o comportamento da solução obtida em b) quando
;
c) qual é o comportamento da solução obtida em b) quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma mola com constante elástica de
ligada a uma massa de
. Além disso, há uma força externa atuando na massa, dada por
. A questão c) pede para a gente descobrir como se comporta a solução obtida na parte b) quando o tempo
tende ao infinito (
).
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de mecânica vibracional, especialmente sobre movimentos forçados e como as soluções das equações diferenciais se comportam ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na parte b) provavelmente encontramos a solução geral da equação do movimento dessa massa na mola. A equação diferencial que descreve esse sistema é:
Substituindo os valores dados:
Simplificando:
A solução geral dessa equação é a soma da solução da equação homogênea (ou seja, sem a força externa) e uma solução particular da equação completa.
Passo 3
A solução homogênea é da forma:
Aqui,
e
são constantes que são determinadas pelas condições iniciais do problema. No caso, a massa começa na posição de equilíbrio com velocidade inicial zero, o que nos ajudaria a determinar
e
na parte b).
A solução particular, que chamaremos de
, é uma resposta específica ao impulso da força externa
. Assumindo que
(para evitar ressonância), a solução particular será da forma:
Substituindo
na equação diferencial e resolvendo para
e
, encontramos a solução completa.
Passo 4
Agora, analisando o comportamento da solução total
quando
, precisamos observar o que acontece com cada parte da solução:
-
Solução Homogênea (
): É uma combinação de funções seno e cosseno que oscilam indefinidamente. Como não há termo de amortecimento (damping) no sistema, essas oscilações não decaem com o tempo. Ou seja, a solução homogênea mantém sua amplitude para sempre. -
Solução Particular (
): Representa a resposta forçada do sistema à força externa. Esta parte também oscila com a mesma frequência da força aplicada, mas sua amplitude depende de .
Quando consideramos o limite
, a parte que realmente persiste é a solução particular, pois no caso de sistemas com amortecimento, a solução homogênea decairia e apenas a particular sobreviveria. Porém, como nosso sistema não tem amortecimento, as duas partes continuam coexistindo.
Passo 5
Mesmo sem amortecimento, ao longo de um tempo muito grande, as oscilações forçadas e as oscilações livres da solução homogênea coexistem. Isso significa que o comportamento geral do sistema será uma combinação das oscilações naturais e das oscilações induzidas pela força externa.
No entanto, sem amortecimento, não há dissipação de energia, então as oscilações não se estabilizam em uma amplitude fixa como ocorreria com amortecimento. Portanto, a amplitude das oscilações continua sendo uma combinação das amplitudes das soluções homogênea e particular, mantendo-se constantes ao longo do tempo.
Resposta
Quando
, o movimento da massa consiste em oscilações combinadas das soluções homogênea e particular que mantêm suas amplitudes constantes. Ou seja, a solução permanece oscilando indefinidamente sem decaimento, combinando as oscilações naturais do sistema com as oscilações induzidas pela força externa.
Exercícios relacionados
Uma massa de 3 kg estica um mola em 3 m . A partir da posição de equilíbrio, a massa é deslocada 1 m para cima e colocada em movimento com uma velocidade de
para baixo. Assumindo que não haja atrito, determine a posição da massa em qualquer instante de tempo. Determine a frequência, o período, a amplitude e a fase do movimento.
Em cada um dos itens abaixo é dada uma EDO linear não-homogênea
uma solução
da equação homogênea associada. Determine em cada caso a solução geral da equação dada.
e) ,
.
e)
Determinar a derivada das seguintes funçöes:
A mola de um sistema massa-mola tem constante de
. É presa uma massa de 2 kg na mola e o movimento se dá em um fluido viscoso que oferece resistência (em Newtons) numericamente igual ao módulo da velocidade instantânea (
). O sistema sofre a ação de uma força externa de
N. Se a massa parte da posição de equilíbrio e em repouso, determine:
a) a posição da massa em função do tempo;
a) a posição da massa em função do tempo;