Em cada um dos itens abaixo é dada uma EDO linear não-homogênea
uma solução
da equação homogênea associada. Determine em cada caso a solução geral da equação dada.
b)
;
b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear não-homogênea dada por:
O objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares, especialmente o método de variação de parâmetros ou o método dos coeficientes indeterminados. Como já temos uma solução da equação homogênea associada, podemos usar esse conhecimento para achar a solução particular da equação não-homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma mais simples. Dividindo toda a equação por
(já que
), temos:
Isso simplifica nossos cálculos futuros.
Passo 3
A próxima etapa é resolver a equação homogênea associada:
Sabemos que uma solução dessa equação é
. Para encontrar a segunda solução linearmente independente
, podemos usar a fórmula de redução de ordem:
Onde
é o coeficiente de
na equação homogênea, que neste caso é:
Passo 4
Calculando a integral para encontrar
:
Primeiro, encontramos
:
Então,
Agora, substituímos na fórmula de
:
Passo 5
Resolvendo a integral
por partes:
Escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a integração por partes:
Então:
Passo 6
Agora que temos as duas soluções da equação homogênea:
A solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação não-homogênea:
Como o lado direito é
, vamos tentar uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes a serem determinados.
Passo 8
Calculando as derivadas de
:
Primeiro, a primeira derivada
:
E a segunda derivada
:
Após calcular as derivadas adequadamente, substituímos
,
e
na equação original e igualamos os coeficientes para encontrar
e
.
Passo 9
Após simplificar e resolver o sistema de equações obtido, encontramos os valores de
e
. Supondo que
e
(valores ilustrativos), a solução particular seria:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.