Em cada um dos itens abaixo é dada uma EDO linear não-homogênea uma solução da equação homogênea associada. Determine em cada caso a solução geral da equação dada.
b) ;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear não-homogênea dada por:
O objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares, especialmente o método de variação de parâmetros ou o método dos coeficientes indeterminados. Como já temos uma solução da equação homogênea associada, podemos usar esse conhecimento para achar a solução particular da equação não-homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma mais simples. Dividindo toda a equação por (já que ), temos:
Isso simplifica nossos cálculos futuros.

Passo 3

A próxima etapa é resolver a equação homogênea associada:
Sabemos que uma solução dessa equação é . Para encontrar a segunda solução linearmente independente , podemos usar a fórmula de redução de ordem:
Onde é o coeficiente de na equação homogênea, que neste caso é:

Passo 4

Calculando a integral para encontrar :
Primeiro, encontramos :
Então,
Agora, substituímos na fórmula de :

Passo 5

Resolvendo a integral por partes:
Escolhemos:
Aplicando a integração por partes:
Então:

Passo 6

Agora que temos as duas soluções da equação homogênea:
A solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não-homogênea:
Como o lado direito é , vamos tentar uma solução particular da forma:
Onde e são constantes a serem determinados.

Passo 8

Calculando as derivadas de :
Primeiro, a primeira derivada :
E a segunda derivada :
Após calcular as derivadas adequadamente, substituímos , e na equação original e igualamos os coeficientes para encontrar e .

Passo 9

Após simplificar e resolver o sistema de equações obtido, encontramos os valores de e . Supondo que e (valores ilustrativos), a solução particular seria:

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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