Resolva os PVIs abaixo:
a) , sendo e , e sabendo que é solução da equação homogênea associada;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem não homogênea:
Além disso, sabemos que e , e que é uma solução da equação homogênea associada. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação diferencial, considerando essas condições iniciais. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos para equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes variáveis e encontrar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a equação homogênea associada:
Sabemos que é uma solução dessa equação homogênea. Para encontrar a segunda solução , podemos usar o método da redução de ordem. Assumimos que .

Passo 3

Vamos derivar :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora, substituímos , e na equação homogênea:
Simplificando essa expressão:
Após simplificar os termos, obtemos uma equação para , que podemos resolver.

Passo 4

Após simplificações, chegamos a:
Integrando ambos os lados em relação a :
Integrando novamente:
Portanto, a segunda solução da equação homogênea é:
Como deve ser linearmente independente de , escolhemos .

Passo 5

Agora temos as duas soluções da equação homogênea:
Precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Vamos supor que a solução particular tenha a forma:

Passo 6

Calculando as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo , e na equação não homogênea:
Simplificando:
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes, obtemos um sistema de equações para e .

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
Comparando os termos:
  • Coeficiente de : deve igualar , portanto ajustamos os valores de .
  • Coeficiente de : Equacionamos para encontrar .
Após resolver, encontramos os valores de e .

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo é dada uma EDO linear não-homogênea uma solução da equação homogênea associada. Determine em cada caso a solução geral da equação dada.
b) ;
Um circuito possui um indutor de , um resistor de , e um capacitor de ligados em série. Inicialmente a carga no capacitor é nula e a corrente que passa no circuito é . (a) Determine a carga no capacitor e a corrente no circuito em função do tempo. b) Qual é a carga no capacitor e a corrente no circuito quando . c) Se quisermos trocar o resistor do circuito para ter um amortecimento crítico, qual deverá ser o novo valor da resistência? d) Repita os itens a) e b) assumindo a resistência encontrada em c) e mantendo todos os outros parâmetros inalterados.
Calcule as integrais impróprias a seguir.
Quais das integrais abaixo são impróprias? Por quê?