Resolva os PVIs abaixo:
a)
, sendo
e
, e sabendo que
é solução da equação homogênea associada;
a)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem não homogênea:
Além disso, sabemos que
e
, e que
é uma solução da equação homogênea associada. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação diferencial, considerando essas condições iniciais. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos para equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes variáveis e encontrar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a equação homogênea associada:
Sabemos que
é uma solução dessa equação homogênea. Para encontrar a segunda solução
, podemos usar o método da redução de ordem. Assumimos que
.
Passo 3
Vamos derivar
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora, substituímos
,
e
na equação homogênea:
Simplificando essa expressão:
Após simplificar os termos, obtemos uma equação para
, que podemos resolver.
Passo 4
Após simplificações, chegamos a:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Integrando novamente:
Portanto, a segunda solução da equação homogênea é:
Como
deve ser linearmente independente de
, escolhemos
.
Passo 5
Agora temos as duas soluções da equação homogênea:
Precisamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Passo 6
Calculando as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo
,
e
na equação não homogênea:
Simplificando:
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes, obtemos um sistema de equações para
e
.
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
Comparando os termos:
- Coeficiente de
: deve igualar , portanto ajustamos os valores de . - Coeficiente de
: Equacionamos para encontrar .
Após resolver, encontramos os valores de
e
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é: