Resolva os PVIs abaixo:
a) x^2 y'' - (x^2 + 2x) y' + (x + 2) y = x^2 - x^3 ln x, sendo y(1) = 0 e y'(1) = 0, e sabendo que y1(x) = x é solução da equação homogênea associada;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem não homogênea:
Além disso, sabemos que e , e que é uma solução da equação homogênea associada. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação diferencial, considerando essas condições iniciais. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos para equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes variáveis e encontrar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a equação homogênea associada:
Sabemos que é uma solução dessa equação homogênea. Para encontrar a segunda solução , podemos usar o método da redução de ordem. Assumimos que .

Passo 3

Vamos derivar :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora, substituímos , e na equação homogênea:
Simplificando essa expressão:
Após simplificar os termos, obtemos uma equação para , que podemos resolver.

Passo 4

Após simplificações, chegamos a:
Integrando ambos os lados em relação a :
Integrando novamente:
Portanto, a segunda solução da equação homogênea é:
Como deve ser linearmente independente de , escolhemos .

Passo 5

Agora temos as duas soluções da equação homogênea:
Precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Vamos supor que a solução particular tenha a forma:

Passo 6

Calculando as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo , e na equação não homogênea:
Simplificando:
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes, obtemos um sistema de equações para e .

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
Comparando os termos:
  • Coeficiente de : deve igualar , portanto ajustamos os valores de .
  • Coeficiente de : Equacionamos para encontrar .
Após resolver, encontramos os valores de e .

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:

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