Calcule as integrais impróprias a seguir.
integral2^infty d vv^2+2 v-3

Passo 1

Vamos calcular a integral imprópria . Esse exercício pertence ao ramo de cálculo integral, especificamente ao estudo de integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Para isso, precisamos fatorar o polinômio quadrático.

Passo 3

Para fatorar v^2 + 2v -3 = (v + 3)(v - 1) , buscamos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Então, podemos escrever:

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral usando a forma fatorada do denominador:
integral dv(v + 3)(v - 1)
Para integrar essa expressão, utilizamos o método de frações parciais.

Passo 5

Aplicamos frações parciais para decompor a fração em partes mais simples:
1(v + 3)(v - 1) = Av + 3 + Bv - 1
Multiplicamos ambos os lados por 1 = A(v - 1) + B(v + 3) :

Passo 6

Para encontrar os valores de 1 = A(1 - 1) + B(1 + 3) Rightarrow 1 = 4B Rightarrow B = 14 e 1 = A(-3 - 1) + B(-3 + 3) Rightarrow 1 = -4A Rightarrow A = -14 , escolhemos valores específicos de que simplificam a equação.
Primeiro, deixe :
Agora, deixe :

Passo 7

Substituímos os valores de 1(v + 3)(v - 1) = -141v + 3 + 141v - 1 e na expressão das frações parciais:

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral dvv^2 + 2v -3 = -14 integral dvv + 3 + 14 integral dvv - 1
As integrais de são conhecidas e resultam em logaritmos naturais.

Passo 9

Calculamos as integrais:
-14 ln|v + 3| + 14 ln|v - 1| + C
Como estamos calculando uma integral definida de 2 a , o termo constante pode ser ignorado.

Passo 10

Agora, aplicamos os limites de integração de 2 a limb to infty [ -14 ln(b + 3) + 14 ln(b - 1) ] - [ -14 ln(2 + 3) + 14 ln(2 - 1) ] :

Passo 11

Simplificamos a expressão:
limb to infty [ 14 (ln(b - 1) - ln(b + 3)) ] - [ 14 (ln(1) - ln(5)) ]
Sabemos que limb to infty 14 ln(b - 1b + 3) + 14 ln(5) , então:

Passo 12

Analisamos o limite quando limb to infty b - 1b + 3 = 1 :
14 ln(5)
Portanto, , e restamos apenas:

Resposta

A integral imprópria vale .

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