Calcule as integrais impróprias a seguir.
Passo 1
Vamos calcular a integral imprópria
. Esse exercício pertence ao ramo de cálculo integral, especificamente ao estudo de integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Para isso, precisamos fatorar o polinômio quadrático.
Passo 3
Para fatorar
, buscamos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
. Então, podemos escrever:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral usando a forma fatorada do denominador:
Para integrar essa expressão, utilizamos o método de frações parciais.
Passo 5
Aplicamos frações parciais para decompor a fração em partes mais simples:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 6
Para encontrar os valores de
e
, escolhemos valores específicos de
que simplificam a equação.
Primeiro, deixe
:
Agora, deixe
:
Passo 7
Substituímos os valores de
e
na expressão das frações parciais:
Passo 8
Agora, integramos cada termo separadamente:
As integrais de
são conhecidas e resultam em logaritmos naturais.
Passo 9
Calculamos as integrais:
Como estamos calculando uma integral definida de 2 a
, o termo constante
pode ser ignorado.
Passo 10
Agora, aplicamos os limites de integração de 2 a
:
Passo 11
Simplificamos a expressão:
Sabemos que
, então:
Passo 12
Analisamos o limite quando
:
Portanto,
, e restamos apenas:
Resposta
A integral imprópria vale
.
Exercícios relacionados
Resolva os PVIs abaixo:
a) , sendo
e
, e sabendo que
é solução da equação homogênea associada;
a)
Em cada um dos itens abaixo é dada uma EDO linear não-homogênea
uma solução
da equação homogênea associada. Determine em cada caso a solução geral da equação dada.
b) ;
b)
Quais das integrais abaixo são impróprias? Por quê?
Quais das integrais abaixo são impróprias? Por quê?