Calcule as integrais impróprias a seguir.

Passo 1

Vamos calcular a integral imprópria . Esse exercício pertence ao ramo de cálculo integral, especificamente ao estudo de integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Para isso, precisamos fatorar o polinômio quadrático.

Passo 3

Para fatorar , buscamos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Então, podemos escrever:

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral usando a forma fatorada do denominador:
Para integrar essa expressão, utilizamos o método de frações parciais.

Passo 5

Aplicamos frações parciais para decompor a fração em partes mais simples:
Multiplicamos ambos os lados por :

Passo 6

Para encontrar os valores de e , escolhemos valores específicos de que simplificam a equação.
Primeiro, deixe :
Agora, deixe :

Passo 7

Substituímos os valores de e na expressão das frações parciais:

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente:
As integrais de são conhecidas e resultam em logaritmos naturais.

Passo 9

Calculamos as integrais:
Como estamos calculando uma integral definida de 2 a , o termo constante pode ser ignorado.

Passo 10

Agora, aplicamos os limites de integração de 2 a :

Passo 11

Simplificamos a expressão:
Sabemos que , então:

Passo 12

Analisamos o limite quando :
Portanto, , e restamos apenas:

Resposta

A integral imprópria vale .

Exercícios relacionados

Resolva os PVIs abaixo:
a) , sendo e , e sabendo que é solução da equação homogênea associada;
Em cada um dos itens abaixo é dada uma EDO linear não-homogênea uma solução da equação homogênea associada. Determine em cada caso a solução geral da equação dada.
b) ;
Quais das integrais abaixo são impróprias? Por quê?
Quais das integrais abaixo são impróprias? Por quê?