Um circuito possui um indutor de 5 / 3 H, um resistor de 10 Ω, e um capacitor de 30 x 10^-3 F ligados em série. Inicialmente a carga no capacitor é nula e a corrente que passa no circuito é 2 A. (a) Determine a carga no capacitor e a corrente no circuito em função do tempo. b) Qual é a carga no capacitor e a corrente no circuito quando t -> infinito. c) Se quisermos trocar o resistor do circuito para ter um amortecimento crítico, qual deverá ser o novo valor da resistência? d) Repita os itens a) e b) assumindo a resistência encontrada em c) e mantendo todos os outros parâmetros inalterados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um circuito com três componentes principais ligados em série: um indutor de H, um resistor de e um capacitor de F. Inicialmente, o capacitor não tem carga e a corrente que passa pelo circuito é de A. Nosso objetivo é descobrir como a carga no capacitor e a corrente no circuito mudam com o tempo. Para isso, vamos usar conceitos de circuitos RLC e resolver uma equação diferencial que descreve esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada componente faz:
  • Indutor (L): Armazena energia no campo magnético quando a corrente passa por ele.
  • Resistor ®: Resiste à passagem da corrente, dissipando energia na forma de calor.
  • Capacitor ©: Armazena energia no campo elétrico quando está carregado.
Como estão todos em série, a corrente é a mesma em todos os componentes. Para encontrar como a carga no capacitor e a corrente mudam com o tempo, precisamos montar a equação diferencial do circuito.

Passo 3

A lei de Kirchhoff das tensões nos diz que a soma das quedas de tensão em cada componente é igual à soma das fontes de tensão. Como não temos uma fonte de tensão externa no problema, a equação fica:
Sabendo que a corrente é a derivada da carga em relação ao tempo:
Substituindo isso na equação:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores dados:
A equação fica:
Simplificando :
Então:

Passo 5

Para facilitar, vamos multiplicar toda a equação por para simplificar os coeficientes:
Simplificando:

Passo 6

Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral é da forma:
Substituindo na equação:
Podemos dividir por (que nunca é zero):

Passo 7

Resolvendo a equação característica:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , :

Passo 8

Como as raízes são complexas, a solução geral para a carga é:
Onde e são constantes que determinamos pelas condições iniciais.

Passo 9

Vamos aplicar as condições iniciais:
  1. Carga inicial no capacitor é nula:
    Então, .
  2. Corrente inicial é 2 A:
    Sabemos que . Vamos derivar :
    Derivando:
    Aplicando :

Passo 10

Agora, substituindo e na solução de :
E para a corrente :

Resposta

A carga no capacitor e a corrente no circuito em função do tempo são, respectivamente:

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