Um circuito possui um indutor de
, um resistor de
, e um capacitor de
ligados em série. Inicialmente a carga no capacitor é nula e a corrente que passa no circuito é
. (a) Determine a carga no capacitor e a corrente no circuito em função do tempo. b) Qual é a carga no capacitor e a corrente no circuito quando
. c) Se quisermos trocar o resistor do circuito para ter um amortecimento crítico, qual deverá ser o novo valor da resistência? d) Repita os itens a) e b) assumindo a resistência encontrada em c) e mantendo todos os outros parâmetros inalterados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um circuito com três componentes principais ligados em série: um indutor de
H, um resistor de
e um capacitor de
F. Inicialmente, o capacitor não tem carga e a corrente que passa pelo circuito é de
A. Nosso objetivo é descobrir como a carga no capacitor e a corrente no circuito mudam com o tempo. Para isso, vamos usar conceitos de circuitos RLC e resolver uma equação diferencial que descreve esse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que cada componente faz:
- Indutor (L): Armazena energia no campo magnético quando a corrente passa por ele.
- Resistor ®: Resiste à passagem da corrente, dissipando energia na forma de calor.
- Capacitor ©: Armazena energia no campo elétrico quando está carregado.
Como estão todos em série, a corrente é a mesma em todos os componentes. Para encontrar como a carga
no capacitor e a corrente
mudam com o tempo, precisamos montar a equação diferencial do circuito.
Passo 3
A lei de Kirchhoff das tensões nos diz que a soma das quedas de tensão em cada componente é igual à soma das fontes de tensão. Como não temos uma fonte de tensão externa no problema, a equação fica:
Sabendo que a corrente
é a derivada da carga em relação ao tempo:
Substituindo isso na equação:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores dados:
A equação fica:
Simplificando
:
Então:
Passo 5
Para facilitar, vamos multiplicar toda a equação por
para simplificar os coeficientes:
Simplificando:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral é da forma:
Substituindo na equação:
Podemos dividir por
(que nunca é zero):
Passo 7
Resolvendo a equação característica:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
,
:
Passo 8
Como as raízes são complexas, a solução geral para a carga
é:
Onde
e
são constantes que determinamos pelas condições iniciais.
Passo 9
Vamos aplicar as condições iniciais:
-
Carga inicial no capacitor é nula:Então,
. -
Corrente inicial é 2 A:
Sabemos que. Vamos derivar : Derivando:Aplicando:
Passo 10
Agora, substituindo
e
na solução de
:
E para a corrente
:
Resposta
A carga no capacitor e a corrente no circuito em função do tempo são, respectivamente:
Exercícios relacionados
A mola de um sistema massa-mola tem constante de
. É presa uma massa de 2 kg na mola e o movimento se dá em um fluido viscoso que oferece resistência (em Newtons) numericamente igual ao módulo da velocidade instantânea (
). O sistema sofre a ação de uma força externa de
N. Se a massa parte da posição de equilíbrio e em repouso, determine:
a) a posição da massa em função do tempo;
a) a posição da massa em função do tempo;
Determinar a derivada das seguintes funçöes:
Em cada um dos itens abaixo é dada uma EDO linear não-homogênea
uma solução
da equação homogênea associada. Determine em cada caso a solução geral da equação dada.
b) ;
b)
Resolva os PVIs abaixo:
a) , sendo
e
, e sabendo que
é solução da equação homogênea associada;
a)