A mola de um sistema massa-mola tem constante de 3 N/m. É presa uma massa de 2 kg na mola e o movimento se dá em um fluido viscoso que oferece resistência (em Newtons) numericamente igual ao módulo da velocidade instantânea ( em m/s ). O sistema sofre a ação de uma força externa de 3 cos(3 t) 2 sen(3 t) N. Se a massa parte da posição de equilíbrio e em repouso, determine:
a) a posição da massa em função do tempo;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um sistema massa-mola onde a constante da mola é de . Uma massa de 2 kg está presa nessa mola e o movimento dela ocorre em um fluido viscoso que oferece uma resistência proporcional à velocidade, ou seja, a força de resistência é igual ao módulo da velocidade instantânea. Além disso, o sistema está sendo afetado por uma força externa que varia com o tempo: N. A massa parte da posição de equilíbrio e está inicialmente em repouso. Precisamos determinar a posição da massa em função do tempo, .
Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de sistemas massa-mola amortecidos e resolver uma equação diferencial que descreve o movimento desse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos modelar o movimento da massa. Sabemos que a segunda lei de Newton para esse sistema pode ser escrita como:
Onde:
  • é a massa (2 kg)
  • é o coeficiente de amortecimento (neste caso, 1 )
  • é a constante da mola (3 )
  • é a força externa aplicada ( N)
  • é a posição da massa em função do tempo
Substituindo os valores conhecidos na equação:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2 para facilitar os cálculos:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo forçado pelo lado direito. Para resolver essa equação, vamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea ( ) e de uma solução particular que leva em conta a força externa.

Passo 4

Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
Procuramos soluções da forma , onde é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):
Resolvemos essa equação quadrática para encontrar :
Isso nos dá raízes complexas:

Passo 5

Com raízes complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora, encontramos uma solução particular ( ) da equação completa. Como o lado direito da equação é uma combinação de funções seno e cosseno com a mesma frequência (3 rad/s), supomos uma solução da forma:
Derivando :
Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Agrupando os coeficientes:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes das funções seno e cosseno de ambos os lados da equação:
Para :
Para :
Podemos simplificar multiplicando ambas as equações por 2:

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações:
Da equação (1):
Da equação (2):
Agora, temos:
Multiplicando a equação (3) por 1 e somando com a equação (4):
Simplificando:
Agora, resolvemos para :
Da equação (3):
Substituindo na equação ajustada:
Substituindo na equação (3):

Passo 9

Agora que temos e , a solução particular é:

Passo 10

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 11

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Condição 1:
Condição 2: em é 0.
Primeiro, derivamos :
Avaliando em :
Substituindo :

Passo 12

Com e , substituímos de volta na solução geral:

Resposta

A posição da massa em função do tempo é:

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