A mola de um sistema massa-mola tem constante de
. É presa uma massa de 2 kg na mola e o movimento se dá em um fluido viscoso que oferece resistência (em Newtons) numericamente igual ao módulo da velocidade instantânea (
). O sistema sofre a ação de uma força externa de
N. Se a massa parte da posição de equilíbrio e em repouso, determine:
a) a posição da massa em função do tempo;
a) a posição da massa em função do tempo;
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um sistema massa-mola onde a constante da mola é de
. Uma massa de 2 kg está presa nessa mola e o movimento dela ocorre em um fluido viscoso que oferece uma resistência proporcional à velocidade, ou seja, a força de resistência é igual ao módulo da velocidade instantânea. Além disso, o sistema está sendo afetado por uma força externa que varia com o tempo:
N. A massa parte da posição de equilíbrio e está inicialmente em repouso. Precisamos determinar a posição da massa em função do tempo,
.
Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de sistemas massa-mola amortecidos e resolver uma equação diferencial que descreve o movimento desse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos modelar o movimento da massa. Sabemos que a segunda lei de Newton para esse sistema pode ser escrita como:
Onde:
-
é a massa (2 kg) -
é o coeficiente de amortecimento (neste caso, 1 ) -
é a constante da mola (3 ) -
é a força externa aplicada ( N) -
é a posição da massa em função do tempo
Substituindo os valores conhecidos na equação:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2 para facilitar os cálculos:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo forçado pelo lado direito. Para resolver essa equação, vamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea (
) e de uma solução particular que leva em conta a força externa.
Passo 4
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
Procuramos soluções da forma
, onde
é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Resolvemos essa equação quadrática para encontrar
:
Isso nos dá raízes complexas:
Passo 5
Com raízes complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora, encontramos uma solução particular (
) da equação completa. Como o lado direito da equação é uma combinação de funções seno e cosseno com a mesma frequência (3 rad/s), supomos uma solução da forma:
Derivando
:
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Agrupando os coeficientes:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes das funções seno e cosseno de ambos os lados da equação:
Para
:
Para
:
Podemos simplificar multiplicando ambas as equações por 2:
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações:
Da equação (1):
Da equação (2):
Agora, temos:
Multiplicando a equação (3) por 1 e somando com a equação (4):
Simplificando:
Agora, resolvemos para
:
Da equação (3):
Substituindo na equação ajustada:
Substituindo
na equação (3):
Passo 9
Agora que temos
e
, a solução particular é:
Passo 10
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 11
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Condição 1:
Condição 2:
em
é 0.
Primeiro, derivamos
:
Avaliando em
:
Substituindo
:
Passo 12
Com
e
, substituímos de volta na solução geral:
Resposta
A posição da massa em função do tempo é: