Inverta a ordem de integração na integral dupla
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente em integrais múltiplas. Para resolver isso, precisamos entender como a região de integração está delimitada e então reorganizar os limites de forma que integremos primeiro em uma variável diferente. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites atuais da integração. Temos:
Aqui,
varia de 1 a 3, e para cada valor de
,
varia de
até
. Vamos desenhar essa região no plano
para entender melhor.
Passo 3
Ao desenhar no plano
, temos:
-
vai de 1 a 3. - Para cada
, vai de a .
Isso forma uma região triangular. Para inverter a ordem, precisamos expressar
em termos de
. Observando os limites:
- O limite inferior para
ocorre quando , então . - O limite superior para
ocorre quando , então . Mas como deve ser menor que , ajustamos isso.
Na verdade,
varia de
a
. Para cada
,
varia de
até
.
Passo 4
Agora que temos os novos limites, podemos reescrever a integral invertendo a ordem:
Isso significa que primeiro integramos em relação a
de
até 3, e depois em relação a
de -1 a 3.
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida fica: