Inverta a ordem de integração na integral dupla
integral1^3(integral2-x^x f(x, y) d x) d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente em integrais múltiplas. Para resolver isso, precisamos entender como a região de integração está delimitada e então reorganizar os limites de forma que integremos primeiro em uma variável diferente. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites atuais da integração. Temos:
integral1^3 ( integral2 - y^y f(x, y) , dx ) dy
Aqui, varia de 1 a 3, e para cada valor de , varia de até . Vamos desenhar essa região no plano para entender melhor.

Passo 3

Ao desenhar no plano , temos:
  1. vai de 1 a 3.
  2. Para cada , vai de a .
Isso forma uma região triangular. Para inverter a ordem, precisamos expressar em termos de . Observando os limites:
  • O limite inferior para ocorre quando , então .
  • O limite superior para ocorre quando , então . Mas como deve ser menor que , ajustamos isso.
Na verdade, varia de a . Para cada , varia de até .

Passo 4

Agora que temos os novos limites, podemos reescrever a integral invertendo a ordem:
integral-1^3 ( integralmax(1, 2 - x)^3 f(x, y) , dy ) dx
Isso significa que primeiro integramos em relação a de até 3, e depois em relação a de -1 a 3.

Resposta

A integral com a ordem de integração invertida fica:
integral-1^3 ( integralmax(1, 2 - x)^3 f(x, y) , dy ) dx

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