Encontre a solução das equações abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial
onde
. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, e para resolvê-la, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Dividindo todos os termos por
(já que
) para isolar
:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
A justificativa aqui é que, multiplicando pela
, a equação se torna mais fácil de resolver, pois o lado esquerdo se transforma na derivada do produto
.
Passo 5
Observamos que:
Portanto, a equação fica:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver a integral
. Para isso, usamos o método de integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 8
A integral
não tem uma solução em termos de funções elementares, mas podemos expressá-la usando a função integral de cosseno, conhecida como
. Assim:
Portanto, a integral fica:
Passo 9
Voltando à expressão para
:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é a constante de integração e
é a função integral de cosseno.