Encontre a solução das equações abaixo:
t y' - y = 5 sen(2 t), t > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial onde . Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, e para resolvê-la, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Dividindo todos os termos por (já que ) para isolar :
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
A justificativa aqui é que, multiplicando pela , a equação se torna mais fácil de resolver, pois o lado esquerdo se transforma na derivada do produto .

Passo 5

Observamos que:
Portanto, a equação fica:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver a integral . Para isso, usamos o método de integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 8

A integral não tem uma solução em termos de funções elementares, mas podemos expressá-la usando a função integral de cosseno, conhecida como . Assim:
Portanto, a integral fica:

Passo 9

Voltando à expressão para :
Multiplicando ambos os lados por para isolar :

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é a constante de integração e é a função integral de cosseno.

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