Para cada um dos itens abaixo determinar:
o ângulo entre u e v.
V=R^3, com o produto interno usual, u=(1,1,4), v=(2,0,5).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o ângulo entre os vetores e no espaço com o produto interno usual. Para isso, vamos usar a fórmula que relaciona o produto interno dos vetores com o cosseno do ângulo entre eles. Precisamos calcular o produto interno, as magnitudes dos vetores e aplicar a fórmula para encontrar o ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto interno de u cdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 e u cdot v = (1)(2) + (1)(0) + (4)(5) = 2 + 0 + 20 = 22 . O produto interno no é dado por:
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude de cada vetor. A magnitude de um vetor |w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2 é dada por:
|u| = raiz1^2 + 1^2 + 4^2 = raiz1 + 1 + 16 = raiz18 = 3raiz2
Para |v| = raiz2^2 + 0^2 + 5^2 = raiz4 + 0 + 25 = raiz29 :
Para :

Passo 4

Agora, usamos a fórmula que relaciona o cosseno do ângulo cos(theta) = u cdot v|u| |v| entre dois vetores com o produto interno e as magnitudes:
cos(theta) = 223raiz2 cdot raiz29 = 223raiz58
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 5

Finalmente, para encontrar o ângulo theta = arccos( 223raiz58 ) , aplicamos a função arco-cosseno:
theta approx arccos( 223 times 7.616 ) approx arccos( 2222.849 ) approx arccos(0.962) approx 16^circ
Calculando o valor numérico:

Resposta

O ângulo entre e é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Determine em cada caso os vértices (do eixo maior) V1 e V2 e os focos F1 e F2 da elipse dada. Faça um esboço de cada uma. x^2+25 y^2=25
Sejam alpha=(1,3),(2,-5) e beta=(1,-1),(2,0) bases de R^2. Determine a matriz [T]beta^alpha.
Sejam alpha=(-3,-1),(-1,-2) e beta=(3,-2),(-2,3) bases de R^2 e T(x, y)=(2 x+y, x-2 y). Determine a matriz [T]beta^alpha.
Mostre que qualquer vetor u=(x, y, z) pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1,1,1),(0,1,1) e (0,0,1).