Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem duas bases do espaço bidimensional, que são conjuntos de vetores que servem para representar qualquer vetor nesse espaço. As bases são e . Além disso, temos uma transformação linear . O que queremos é descobrir como essa transformação pode ser representada na forma de uma matriz que vai de para , ou seja, encontrar a matriz . Para isso, vamos precisar entender como aplicar a transformação nos vetores da base e depois expressar os resultados em termos da base .
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformação em cada vetor da base . Temos dois vetores na base : e . Vamos transformar cada um deles usando a função .
Passo 3
Vamos transformar o primeiro vetor de , que é :
Passo 4
Agora, vamos transformar o segundo vetor de , que é :
Passo 5
Agora temos os vetores transformados: e . O próximo passo é expressar esses vetores na base . Isso significa que precisamos encontrar coeficientes e tais que:
e
Passo 6
Vamos resolver para o primeiro vetor :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: ⇒
Substituindo na primeira equação:
Então, ⇒
E
Passo 7
Agora, para o segundo vetor :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: ⇒
Substituindo na primeira equação:
Então, ⇒
E
Passo 8
Agora que temos os coeficientes, podemos montar a matriz . Os coeficientes e correspondem à primeira coluna da matriz, e e à segunda coluna: