Sejam
e
bases de
e
. Determine a matriz
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem duas bases do espaço bidimensional, que são conjuntos de vetores que servem para representar qualquer vetor nesse espaço. As bases são
e
. Além disso, temos uma transformação linear
. O que queremos é descobrir como essa transformação pode ser representada na forma de uma matriz que vai de
para
, ou seja, encontrar a matriz
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a transformação nos vetores da base
e depois expressar os resultados em termos da base
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformação
em cada vetor da base
. Temos dois vetores na base
:
e
. Vamos transformar cada um deles usando a função
.
Passo 3
Vamos transformar o primeiro vetor de
, que é
:
Passo 4
Agora, vamos transformar o segundo vetor de
, que é
:
Passo 5
Agora temos os vetores transformados:
e
. O próximo passo é expressar esses vetores na base
. Isso significa que precisamos encontrar coeficientes
e
tais que:
e
Passo 6
Vamos resolver para o primeiro vetor
:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: ⇒
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
⇒
E
Passo 7
Agora, para o segundo vetor
:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: ⇒
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
⇒
E
Passo 8
Agora que temos os coeficientes, podemos montar a matriz
. Os coeficientes
e
correspondem à primeira coluna da matriz, e
e
à segunda coluna:
Resposta
A matriz
é: