Sejam alpha=(-3,-1),(-1,-2) e beta=(3,-2),(-2,3) bases de R^2 e T(x, y)=(2 x+y, x-2 y). Determine a matriz [T]beta^alpha.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem duas bases do espaço bidimensional, que são conjuntos de vetores que servem para representar qualquer vetor nesse espaço. As bases são alpha = (-3,-1), (-1,-2) e beta = (3,-2), (-2,3). Além disso, temos uma transformação linear T(x, y) = (2x + y, x - 2y). O que queremos é descobrir como essa transformação pode ser representada na forma de uma matriz que vai de beta para alpha, ou seja, encontrar a matriz [T]beta^alpha. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a transformação nos vetores da base beta e depois expressar os resultados em termos da base alpha.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação T em cada vetor da base beta. Temos dois vetores na base beta: (3,-2) e (-2,3). Vamos transformar cada um deles usando a função T.

Passo 3

Vamos transformar o primeiro vetor de beta, que é (3,-2):
T(3, -2) = (2 times 3 + (-2), 3 - 2 times (-2)) = (6 - 2, 3 + 4) = (4, 7)

Passo 4

Agora, vamos transformar o segundo vetor de beta, que é (-2,3):
T(-2, 3) = (2 times (-2) + 3, (-2) - 2 times 3) = (-4 + 3, -2 - 6) = (-1, -8)

Passo 5

Agora temos os vetores transformados: (4, 7) e (-1, -8). O próximo passo é expressar esses vetores na base alpha = (-3,-1), (-1,-2). Isso significa que precisamos encontrar coeficientes a e b tais que:
(4, 7) = a times (-3, -1) + b times (-1, -2)
e
(-1, -8) = c times (-3, -1) + d times (-1, -2)

Passo 6

Vamos resolver para o primeiro vetor (4, 7):
4 = -3a - b 7 = -a - 2b
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: -a - 2b = 7 a = -2b - 7
Substituindo na primeira equação:
4 = -3(-2b -7) - b = 6b + 21 - b = 5b + 21
Então, 5b = 4 - 21 = -17 b = -175
E a = -2(-175) - 7 = 345 - 7 = 345 - 355 = -15

Passo 7

Agora, para o segundo vetor (-1, -8):
-1 = -3c - d -8 = -c - 2d
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: -c - 2d = -8 c = -2d + 8
Substituindo na primeira equação:
-1 = -3(-2d + 8) - d = 6d - 24 - d = 5d - 24
Então, 5d = -1 + 24 = 23 d = 235
E c = -2(235) + 8 = -465 + 405 = -65

Passo 8

Agora que temos os coeficientes, podemos montar a matriz [T]beta^alpha. Os coeficientes a e b correspondem à primeira coluna da matriz, e c e d à segunda coluna:
[T]beta^alpha = -15 & -65 -175 & 235

Resposta

A matriz [T]beta^alpha é:
-dfrac15 & -dfrac65 -dfrac175 & dfrac235

Exercícios relacionados

Para cada um dos itens abaixo determinar:
o ângulo entre u e v.
V=R^3, com o produto interno usual, u=(1,1,4), v=(2,0,5).
Determine em cada caso os vértices (do eixo maior) V1 e V2 e os focos F1 e F2 da elipse dada. Faça um esboço de cada uma. x^2+25 y^2=25
Mostre que qualquer vetor u=(x, y, z) pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1,1,1),(0,1,1) e (0,0,1).
Se T: R^3 R^3 é a projeção ortogonal sobre o plano pi: x-y-z=0. Calcule T(x, y, z).