Sejam alpha=(1,3),(2,-5) e beta=(1,-1),(2,0) bases de R^2. Determine a matriz [T]beta^alpha.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas bases de :
Queremos determinar a matriz de transformação linear . Isso significa que vamos encontrar uma matriz que converta as coordenadas de um vetor na base para a base . Para isso, vamos precisar entender mudança de base e como representá-la usando matrizes.

Passo 2

Para determinar (1, -1) = a cdot (1, 3) + b cdot (2, -5) , precisamos encontrar como os vetores da base 1 = a cdot 1 + b cdot 2 -1 = a cdot 3 + b cdot (-5) são representados na base . Ou seja, vamos expressar cada vetor de como uma combinação linear dos vetores de .
Vamos começar com o primeiro vetor de , que é . Queremos encontrar escalares e tais que:
Isso gera o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema para encontrar 1 = a + 2b Rightarrow a = 1 - 2b e -1 = 3(1 - 2b) - 5b -1 = 3 - 6b - 5b -1 = 3 - 11b -4 = -11b b = 411 .
Da primeira equação:
a = 1 - 2 (411) = 1 - 811 = 311
Substituindo (1, -1) = 311 cdot (1, 3) + 411 cdot (2, -5) na segunda equação:
Agora, substituindo de volta na expressão para :
Então, o vetor na base é:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para o segundo vetor de (2, 0) = c cdot (1, 3) + d cdot (2, -5) , que é 2 = c cdot 1 + d cdot 2 0 = c cdot 3 + d cdot (-5) . Procuramos escalares e tais que:
Isso nos dá o sistema:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema.
Da primeira equação:
2 = c + 2d Rightarrow c = 2 - 2d
Substituindo 0 = 3(2 - 2d) - 5d 0 = 6 - 6d - 5d 0 = 6 - 11d 11d = 6 d = 611 na segunda equação:
c = 2 - 2 (611) = 2 - 1211 = 1011
Agora, substituindo (2, 0) = 1011 cdot (1, 3) + 611 cdot (2, -5) na expressão para :
Então, o vetor na base é:

Passo 6

Agora que encontramos as coordenadas dos vetores de [T]beta^alpha = 311 & 1011 411 & 611 na base , podemos montar a matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas de um vetor de na base .
Então, temos:

Resposta

A matriz [T]beta^alpha = 311 & 1011 411 & 611 é:

Exercícios relacionados

Determine a transformação linear tal que T(4,4)=(1,1) e T(2,3)=(3,2).
  • Determine a equação da elipse cujos focos são F=(0,0) e F^prime=(4,4) e cujo eixo maior é 2 a=8. Faça um esboço da curva.
Determine em cada caso os vértices (do eixo maior) V1 e V2 e os focos F1 e F2 da elipse dada. Faça um esboço de cada uma. x^2+25 y^2=25
Para cada um dos itens abaixo determinar:
o ângulo entre u e v.
V=R^3, com o produto interno usual, u=(1,1,4), v=(2,0,5).