Sejam
e
bases de
. Determine a matriz
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas bases de
:
Queremos determinar a matriz de transformação linear
. Isso significa que vamos encontrar uma matriz que converta as coordenadas de um vetor na base
para a base
. Para isso, vamos precisar entender mudança de base e como representá-la usando matrizes.
Passo 2
Para determinar
, precisamos encontrar como os vetores da base
são representados na base
. Ou seja, vamos expressar cada vetor de
como uma combinação linear dos vetores de
.
Vamos começar com o primeiro vetor de
, que é
. Queremos encontrar escalares
e
tais que:
Isso gera o seguinte sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Agora, substituindo
de volta na expressão para
:
Então, o vetor
na base
é:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para o segundo vetor de
, que é
. Procuramos escalares
e
tais que:
Isso nos dá o sistema:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema.
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Agora, substituindo
na expressão para
:
Então, o vetor
na base
é:
Passo 6
Agora que encontramos as coordenadas dos vetores de
na base
, podemos montar a matriz
. Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas de um vetor de
na base
.
Então, temos:
Resposta
A matriz
é:
Exercícios relacionados
Determine a transformação linear tal que
e
.
- Determine a equação da elipse cujos focos são
e e cujo eixo maior é . Faça um esboço da curva.
Determine em cada caso os vértices (do eixo maior)
e
e os focos
e
da elipse dada. Faça um esboço de cada uma.
Para cada um dos itens abaixo determinar:
o ângulo entre e
.
, com o produto interno usual,
.
o ângulo entre