Determine em cada caso os vértices (do eixo maior) V1 e V2 e os focos F1 e F2 da elipse dada. Faça um esboço de cada uma. x^2+25 y^2=25

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem a equação de uma elipse: . Precisamos encontrar os vértices do eixo maior ( e ) e os focos ( e ) dessa elipse. Para isso, vamos lembrar como identificar as características principais de uma elipse a partir da sua equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma geral da equação de uma elipse é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde x^225 + 25y^225 = 1 Rightarrow x^225 + y^21 = 1 é o centro da elipse, é o semieixo maior e é o semieixo menor. No nosso caso, a equação é . Vamos dividir todos os termos por 25 para igualar a 1:

Passo 3

Agora, comparando com a forma padrão, identificamos que:
a^2 = 25 Rightarrow a = 5
b^2 = 1 Rightarrow b = 1
Como , o eixo maior está ao longo do eixo , e o eixo menor está ao longo do eixo . O centro da elipse é , já que não há termos de ou na equação.

Passo 4

Com V1 = (-5, 0) e o centro na origem, os vértices do eixo maior ( V2 = (5, 0) e ) estão a uma distância do centro ao longo do eixo . Assim:

Passo 5

Para encontrar os focos da elipse, usamos a relação:
c^2 = a^2 - b^2
Onde c^2 = 25 - 1 = 24 Rightarrow c = raiz24 = 2raiz6 é a distância do centro até cada foco. Substituindo os valores:
F1 = (-2raiz6, 0)
Então, os focos ( F2 = (2raiz6, 0) e ) estão a uma distância do centro ao longo do eixo :

Resposta

Os vértices do eixo maior são e . Os focos da elipse são e .

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