Mostre que qualquer vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa mostrar que qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores , e . Isso envolve entender o que é uma combinação linear e como podemos usar os vetores dados para alcançar qualquer vetor .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa combinação linear. Basicamente, queremos encontrar coeficientes , e tais que:
Isso significa que é uma soma desses vetores multiplicados por certos números , e .
Passo 3
Agora, vamos escrever isso componente por componente. Expandindo a combinação linear, temos:
O que resulta em:
Somando as componentes correspondentes, fica:
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações que podemos resolver para encontrar , e :
Resolvendo essas equações:
Da primeira equação, já sabemos que .
Substituindo na segunda equação: .
Substituindo e na terceira equação: .
Passo 5
Com os valores de u = x cdot (1,1,1) + (y - x) cdot (0,1,1) + (z - y) cdot (0,0,1) , e encontrados, podemos reescrever a combinação linear:
Isso mostra que conseguimos expressar qualquer vetor usando os vetores , e .
Resposta
Qualquer vetor u = x cdot (1,1,1) + (y - x) cdot (0,1,1) + (z - y) cdot (0,0,1) pode ser escrito como:
Isso confirma que é uma combinação linear dos vetores dados.