Mostre que qualquer vetor u=(x, y, z) pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1,1,1),(0,1,1) e (0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa mostrar que qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores , e . Isso envolve entender o que é uma combinação linear e como podemos usar os vetores dados para alcançar qualquer vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa combinação linear. Basicamente, queremos encontrar coeficientes u = a cdot (1,1,1) + b cdot (0,1,1) + c cdot (0,0,1) , e tais que:
Isso significa que é uma soma desses vetores multiplicados por certos números , e .

Passo 3

Agora, vamos escrever isso componente por componente. Expandindo a combinação linear, temos:
(x, y, z) = a cdot (1,1,1) + b cdot (0,1,1) + c cdot (0,0,1)
O que resulta em:
(x, y, z) = (a, a, a) + (0, b, b) + (0, 0, c)
Somando as componentes correspondentes, fica:
(x, y, z) = (a, a + b, a + b + c)

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações que podemos resolver para encontrar x = a y = a + b z = a + b + c , e :
Resolvendo essas equações:
  1. Da primeira equação, já sabemos que .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo e na terceira equação: .

Passo 5

Com os valores de u = x cdot (1,1,1) + (y - x) cdot (0,1,1) + (z - y) cdot (0,0,1) , e encontrados, podemos reescrever a combinação linear:
Isso mostra que conseguimos expressar qualquer vetor usando os vetores , e .

Resposta

Qualquer vetor u = x cdot (1,1,1) + (y - x) cdot (0,1,1) + (z - y) cdot (0,0,1) pode ser escrito como:
Isso confirma que é uma combinação linear dos vetores dados.

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