Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral integralC f cdot d r: f(x, y)=x^2 y imath+4 jmath ; C: r(t)=e^t imath+e^-t jmath ; 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! O enunciado pede para calcular a integral de f cdot dr ao longo do caminho C, onde f(x, y) = x^2 y imath + 4 jmath e C é definida por r(t) = e^t imath + e^-t jmath para 0 <= t <= 1. Vamos usar cálculo vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular a integral de linha integralC f cdot dr. Basicamente, estamos somando os produtos escalares do campo vetorial f com os pequenos deslocamentos dr ao longo do caminho C. Para fazer isso, precisamos parametrizar o caminho e substituir na integral.

Passo 3

A parametrização do caminho C já está dada como r(t) = e^t imath + e^-t jmath, onde t varia de 0 a 1. Vamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t, que é dr/dt:
drdt = ddt ( e^t imath + e^-t jmath ) = e^t imath - e^-t jmath

Passo 4

Agora, substituímos r(t) na função f(x, y):
f(x, y) = x^2 y imath + 4 jmath f(r(t)) = (e^t)^2 cdot e^-t imath + 4 jmath = e^2t e^-t imath + 4 jmath = e^t imath + 4 jmath

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar f(r(t)) cdot drdt:
f(r(t)) cdot drdt = (e^t imath + 4 jmath) cdot (e^t imath - e^-t jmath) = e^t cdot e^t + 4 cdot (-e^-t) = e^2t - 4 e^-t

Passo 6

Agora, integramos essa expressão de t = 0 a t = 1:
integral0^1 ( e^2t - 4 e^-t ) dt = integral0^1 e^2t dt - 4 integral0^1 e^-t dt

Passo 7

Vamos calcular cada integral separadamente:
integral e^2t dt = 12 e^2t + C integral e^-t dt = -e^-t + C
Então,
integral0^1 e^2t dt = [ 12 e^2t ]0^1 = 12(e^2 - 1) integral0^1 e^-t dt = [ -e^-t ]0^1 = -(e^-1 - 1) = 1 - e^-1

Passo 8

Substituindo de volta na expressão original:
integral0^1 ( e^2t - 4 e^-t ) dt = 12(e^2 - 1) - 4(1 - e^-1) = e^2 - 12 - 4 + 4 e^-1

Passo 9

Simplificando:
e^22 - 12 - 4 + 4e = e^22 - 92 + 4e

Resposta

A integral integralC f cdot d r vale e^22 - 92 + 4e.

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