Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! O enunciado pede para calcular a integral de
ao longo do caminho
, onde
e
é definida por
para
. Vamos usar cálculo vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular a integral de linha
. Basicamente, estamos somando os produtos escalares do campo vetorial
com os pequenos deslocamentos
ao longo do caminho
. Para fazer isso, precisamos parametrizar o caminho e substituir na integral.
Passo 3
A parametrização do caminho
já está dada como
, onde
varia de 0 a 1. Vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
:
Passo 4
Agora, substituímos
na função
:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Passo 7
Vamos calcular cada integral separadamente:
Então,
Passo 8
Substituindo de volta na expressão original:
Passo 9
Simplificando:
Resposta
A integral
vale
.
Exercícios relacionados
Determine o campo do vetor gradiente da função escalar
em cada caso:
Suponha que a temperatura em um ponto
do espaço é dada por
. Identificar a função vetorial que descreverá o movimento da partícula
.
Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral
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Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral
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