Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral :

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! O enunciado pede para calcular a integral de ao longo do caminho , onde e é definida por para . Vamos usar cálculo vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular a integral de linha . Basicamente, estamos somando os produtos escalares do campo vetorial com os pequenos deslocamentos ao longo do caminho . Para fazer isso, precisamos parametrizar o caminho e substituir na integral.

Passo 3

A parametrização do caminho já está dada como , onde varia de 0 a 1. Vamos encontrar a derivada de em relação a , que é :

Passo 4

Agora, substituímos na função :

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 6

Agora, integramos essa expressão de a :

Passo 7

Vamos calcular cada integral separadamente:
Então,

Passo 8

Substituindo de volta na expressão original:

Passo 9

Simplificando:

Resposta

A integral vale .

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Determine o campo do vetor gradiente da função escalar em cada caso:
Suponha que a temperatura em um ponto do espaço é dada por . Identificar a função vetorial que descreverá o movimento da partícula .
Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral :
Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral :