Determine o campo do vetor gradiente da função escalar em cada caso:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o campo do vetor gradiente de uma função escalar . A função dada é . Então, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calculá-lo.

Passo 2

Primeiro, o gradiente de uma função escalar é um vetor que aponta na direção de maior aumento de e é dado pelas derivadas parciais de em relação a cada variável. Matemáticamente, é representado por:

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 4

Agora, juntando todas as derivadas parciais, o campo do vetor gradiente fica:

Resposta

O campo do vetor gradiente da função é:

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Suponha que a temperatura em um ponto do espaço é dada por . Identificar a função vetorial que descreverá o movimento da partícula .
Uma partícula se move de uma posição inicial com velocidade inicial . Sua aceleração é dada por . Determine sua velocidade e posição para um instante .
Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral :
Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral :