Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral
:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. A gente precisa calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial é
e o caminho
é parametrizado por
, com
. Vamos usar cálculo vetorial, especificamente a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular a integral de linha de um campo vetorial. A fórmula geral é:
Isso significa que vamos substituir
pela sua expressão na parametrização da curva
, multiplicar pelo derivado de
em relação a
, e integrar de
até
.
Passo 3
Vamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
na função
:
Passo 5
Realizamos o produto escalar
:
Passo 6
Agora, simplificamos a expressão resultante:
Passo 7
Vamos integrar termo por termo de
até
:
Podemos separar a integral:
Passo 8
Calculamos cada integral individualmente:
-
: - Seja
, então . - A integral se torna
.
- Seja
-
: - Usamos a identidade
. - A integral se torna
.
- Usamos a identidade
-
: - Seja
, então . - A integral se torna
.
- Seja
Passo 9
Aplicamos os limites de integração para cada parte:
Passo 10
Somamos os resultados das integrais:
Resposta
A integral de linha é
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral
:
Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral
:
Calcular as seguintes integrais curvilíneas:
, onde C é a intersecção das superfícies
e
.
Calcule as seguintes integrais curvilíneas abaixo, usando o Teorema de Green:
, ao longo do retângulo de vértices
,
e
, no sentido anti-horário.