Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral integralC f cdot d r: f(x, y, z)=z imath+x jmath+y k ; C: r(t)=sen t imath+3 cos t jmath+sen^2 t k, 0 <= t <= pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. A gente precisa calcular a integral de linha integralC f cdot d r, onde o campo vetorial é f(x, y, z) = z imath + x jmath + y k e o caminho C é parametrizado por r(t) = sin t imath + 3 cos t jmath + sin^2 t k, com 0 <= t <= pi/2. Vamos usar cálculo vetorial, especificamente a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular a integral de linha de um campo vetorial. A fórmula geral é:
integralC f cdot dr = integrala^b f(r(t)) cdot r,'(t) , dt
Isso significa que vamos substituir f pela sua expressão na parametrização da curva C, multiplicar pelo derivado de r(t) em relação a t, e integrar de t = 0 até t = pi/2.

Passo 3

Vamos encontrar r,'(t), que é a derivada de r(t) em relação a t:
r,'(t) = ddt [sin t imath + 3 cos t jmath + sin^2 t k] = cos t imath - 3 sin t jmath + 2 sin t cos t k

Passo 4

Agora, substituímos r(t) na função f:
f(r(t)) = z imath + x jmath + y k = sin^2 t imath + sin t jmath + 3 cos t k

Passo 5

Realizamos o produto escalar f(r(t)) cdot r,'(t):
(sin^2 t)(cos t) + (sin t)(-3 sin t) + (3 cos t)(2 sin t cos t) = sin^2 t cos t - 3 sin^2 t + 6 sin t cos^2 t

Passo 6

Agora, simplificamos a expressão resultante:
sin^2 t cos t - 3 sin^2 t + 6 sin t cos^2 t = sin^2 t (cos t - 3) + 6 sin t cos^2 t

Passo 7

Vamos integrar termo por termo de 0 até pi/2:
integral0^pi/2 [sin^2 t (cos t - 3) + 6 sin t cos^2 t] , dt
Podemos separar a integral:
integral0^pi/2 sin^2 t cos t , dt - 3 integral0^pi/2 sin^2 t , dt + 6 integral0^pi/2 sin t cos^2 t , dt

Passo 8

Calculamos cada integral individualmente:
  1. integral sin^2 t cos t , dt:
    • Seja u = sin t, então du = cos t , dt.
    • A integral se torna integral u^2 , du = u^33 = sin^3 t3.
  2. integral sin^2 t , dt:
    • Usamos a identidade sin^2 t = 1 - cos 2t2.
    • A integral se torna 12 integral (1 - cos 2t) , dt = t2 - sin 2t4.
  3. integral sin t cos^2 t , dt:
    • Seja u = cos t, então du = -sin t , dt.
    • A integral se torna - integral u^2 , du = -u^33 = -cos^3 t3.

Passo 9

Aplicamos os limites de integração para cada parte:
  1. [ sin^3 t3 ]0^pi/2 = 13 - 0 = 13
  2. -3 [ t2 - sin 2t4 ]0^pi/2 = -3 ( pi4 - 0 ) = -3pi4
  3. 6 [ -cos^3 t3 ]0^pi/2 = 6 ( 0 - ( -13 ) ) = 6 times 13 = 2

Passo 10

Somamos os resultados das integrais:
13 - 3pi4 + 2 = 13 + 2 - 3pi4 = 73 - 3pi4

Resposta

A integral de linha é 73 - 3pi4.

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