Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral :

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é e o caminho é parametrizado por , com . Vamos usar cálculo vetorial, especificamente a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular a integral de linha de um campo vetorial. A fórmula geral é:
Isso significa que vamos substituir pela sua expressão na parametrização da curva , multiplicar pelo derivado de em relação a , e integrar de até .

Passo 3

Vamos encontrar , que é a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos na função :

Passo 5

Realizamos o produto escalar :

Passo 6

Agora, simplificamos a expressão resultante:

Passo 7

Vamos integrar termo por termo de até :
Podemos separar a integral:

Passo 8

Calculamos cada integral individualmente:
  1. :
    • Seja , então .
    • A integral se torna .
  2. :
    • Usamos a identidade .
    • A integral se torna .
  3. :
    • Seja , então .
    • A integral se torna .

Passo 9

Aplicamos os limites de integração para cada parte:

Passo 10

Somamos os resultados das integrais:

Resposta

A integral de linha é .

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Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral :
Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral :
Calcular as seguintes integrais curvilíneas: , onde C é a intersecção das superfícies e .
Calcule as seguintes integrais curvilíneas abaixo, usando o Teorema de Green: , ao longo do retângulo de vértices , e , no sentido anti-horário.