Suponha que a temperatura em um ponto do espaço é dada por . Identificar a função vetorial que descreverá o movimento da partícula .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a temperatura em um ponto no espaço é dada por . A gente precisa descobrir a função vetorial que descreve como a partícula se move. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos vetoriais e vetores de movimento em espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a temperatura aqui é um campo escalar, ou seja, em cada ponto temos um valor de temperatura. Mas queremos uma função vetorial que mostre a direção e a velocidade com que a partícula se move nesse campo.

Passo 3

Para relacionar o campo escalar da temperatura com o movimento da partícula, usamos o gradiente da função de temperatura. O gradiente aponta na direção de maior aumento da temperatura e tem magnitude igual à taxa de variação máxima.

Passo 4

Calculando o gradiente de :
Vamos lá:
Então,

Passo 5

Agora, interpretando o gradiente como a velocidade da partícula , a função vetorial que descreve o movimento de é exatamente o gradiente de . Isso significa que a partícula se move na direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente, com uma velocidade proporcional às coordenadas .

Resposta

A função vetorial que descreve o movimento da partícula é:

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Uma partícula se move de uma posição inicial com velocidade inicial . Sua aceleração é dada por . Determine sua velocidade e posição para um instante .
Um objeto de massa que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante tem vetor de posição dado por . Determine a força que age sobre o objeto e mostre que sua direção e sentido são dados pela reta que passa pela origem, apontando para esta.
Determine o campo do vetor gradiente da função escalar em cada caso:
Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral :