Suponha que a temperatura em um ponto
do espaço é dada por
. Identificar a função vetorial que descreverá o movimento da partícula
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a temperatura em um ponto
no espaço é dada por
. A gente precisa descobrir a função vetorial que descreve como a partícula
se move. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos vetoriais e vetores de movimento em espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a temperatura aqui é um campo escalar, ou seja, em cada ponto
temos um valor de temperatura. Mas queremos uma função vetorial que mostre a direção e a velocidade com que a partícula
se move nesse campo.
Passo 3
Para relacionar o campo escalar da temperatura com o movimento da partícula, usamos o gradiente da função de temperatura. O gradiente aponta na direção de maior aumento da temperatura e tem magnitude igual à taxa de variação máxima.
Passo 4
Calculando o gradiente de
:
Vamos lá:
Então,
Passo 5
Agora, interpretando o gradiente como a velocidade da partícula
, a função vetorial que descreve o movimento de
é exatamente o gradiente de
. Isso significa que a partícula se move na direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente, com uma velocidade proporcional às coordenadas
.
Resposta
A função vetorial que descreve o movimento da partícula
é:
Exercícios relacionados
Uma partícula se move de uma posição inicial
com velocidade inicial
. Sua aceleração é dada por
. Determine sua velocidade e posição para um instante
.
Um objeto de massa
que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante
tem vetor de posição dado por
. Determine a força que age sobre o objeto e mostre que sua direção e sentido são dados pela reta que passa pela origem, apontando para esta.
Determine o campo do vetor gradiente da função escalar
em cada caso:
Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral
: