Suponha que a temperatura em um ponto (x, y, z) do espaço é dada por x^2 + y^2 + z^2. Identificar a função vetorial que descreverá o movimento da partícula P.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a temperatura em um ponto (x, y, z) no espaço é dada por . A gente precisa descobrir a função vetorial que descreve como a partícula P se move. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos vetoriais e vetores de movimento em espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a temperatura aqui é um campo escalar, ou seja, em cada ponto (x, y, z) temos um valor de temperatura. Mas queremos uma função vetorial que mostre a direção e a velocidade com que a partícula P se move nesse campo.

Passo 3

Para relacionar o campo escalar da temperatura com o movimento da partícula, usamos o gradiente da função de temperatura. O gradiente aponta na direção de maior aumento da temperatura e tem magnitude igual à taxa de variação máxima.

Passo 4

Calculando o gradiente de T(x, y, z):
Vamos lá:
Então,

Passo 5

Agora, interpretando o gradiente como a velocidade da partícula P, a função vetorial que descreve o movimento de P é exatamente o gradiente de T. Isso significa que a partícula se move na direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente, com uma velocidade proporcional às coordenadas (x, y, z).

Resposta

A função vetorial que descreve o movimento da partícula P é:

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