Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral :

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular a integral ∫₍C₎ f · dr, onde f(x, y) = x² i + xy j, e a curva C é definida por r(t) = 2cos(t) i + 2sen(t) j, com t variando de 0 a π.
Aqui estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha. Vamos precisar usar a parametrização da curva C para substituir na expressão da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral de linha da forma ∫₍C₎ f · dr pode ser calculada parametrizando a curva C. Isso significa que vamos expressar f em termos de t usando a parametrização dada e depois multiplicar pelo derivado de r(t) em relação a t.

Passo 3

Vamos encontrar r’(t), que é a derivada de r(t) em relação a t:
r(t) = 2cos(t) i + 2sen(t) j
Então,
r’(t) = -2sen(t) i + 2cos(t) j

Passo 4

Agora, vamos substituir x e y na função f(x, y) pela parametrização de r(t):
x = 2cos(t)
y = 2sen(t)
Assim,
f(x, y) = (2cos(t))² i + (2cos(t))(2sen(t)) j
= 4cos²(t) i + 4cos(t)sen(t) j

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar f(x, y) · r’(t):
f · r’(t) = (4cos²(t))(-2sen(t)) + (4cos(t)sen(t))(2cos(t))
= -8cos²(t)sen(t) + 8cos²(t)sen(t)
= 0

Passo 6

Com o produto escalar igual a zero, a integral de linha fica:
∫₍C₎ f · dr = ∫₀^π 0 dt = 0

Resposta

A integral ∫₍C₎ f · dr é igual a 0.

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