Calcular as seguintes integrais curvilíneas: , onde C é a intersecção das superfícies e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral curvilínea , onde é a intersecção das superfícies e . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais curvilíneas, que usa conceitos de geometria analítica e cálculo diferencial. Vamos precisar entender como parametrizar a curva de intersecção e calcular o comprimento dessa curva para resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a curva . Temos duas superfícies:
Esfera:
Plano:
Para encontrar a intersecção dessas duas superfícies, substituímos na equação da esfera.
Passo 3
Substituindo na equação da esfera:
Isso descreve um círculo no plano com raio , já que implica .
Passo 4
Agora que sabemos que é um círculo de raio no plano , vamos parametrizar essa curva. Uma parametrização comum para um círculo no plano é:
Onde varia de a .
Passo 5
Aplicando os valores específicos do nosso problema ( x = 4 cos theta y = 4 sin theta z = 4 e ):
Com indo de a .
Passo 6
Agora, vamos calcular ds = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 + (dzdtheta)^2 dtheta , que representa um elemento de comprimento ao longo da curva dxdtheta = -4 sin theta . Para uma parametrização em termos de dydtheta = 4 cos theta , temos:
dzdtheta = 0
Calculando as derivadas:
ds = raiz(-4 sin theta)^2 + (4 cos theta)^2 + 0 dtheta
ds = raiz16 sin^2 theta + 16 cos^2 theta dtheta
ds = raiz16 (sin^2 theta + cos^2 theta) dtheta
Substituindo na expressão de ds = raiz16 times 1 dtheta :
ds = 4 dtheta
Passo 7
Agora, vamos substituir tudo na integral original:
integralC(x^2+y^2-z) d s = integral0^2pi ((4 cos theta)^2 + (4 sin theta)^2 - 4) times 4 dtheta