Calcular as seguintes integrais curvilíneas: integralC(x^2+y^2-z) d s, onde C é a intersecção das superfícies x^2+y^2+z^2=8 z e z=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral curvilínea , onde é a intersecção das superfícies e . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais curvilíneas, que usa conceitos de geometria analítica e cálculo diferencial. Vamos precisar entender como parametrizar a curva de intersecção e calcular o comprimento dessa curva para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a curva . Temos duas superfícies:
  1. Esfera:
  2. Plano:
Para encontrar a intersecção dessas duas superfícies, substituímos na equação da esfera.

Passo 3

Substituindo x^2 + y^2 + (4)^2 = 8 times 4 na equação da esfera:
x^2 + y^2 + 16 = 32
x^2 + y^2 = 16
Isso descreve um círculo no plano com raio , já que implica .

Passo 4

Agora que sabemos que x = r cos theta y = r sin theta z = k é um círculo de raio no plano , vamos parametrizar essa curva. Uma parametrização comum para um círculo no plano é:
Onde varia de a .

Passo 5

Aplicando os valores específicos do nosso problema ( x = 4 cos theta y = 4 sin theta z = 4 e ):
Com indo de a .

Passo 6

Agora, vamos calcular ds = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 + (dzdtheta)^2 dtheta , que representa um elemento de comprimento ao longo da curva dxdtheta = -4 sin theta . Para uma parametrização em termos de dydtheta = 4 cos theta , temos:
dzdtheta = 0
Calculando as derivadas:
ds = raiz(-4 sin theta)^2 + (4 cos theta)^2 + 0 dtheta
ds = raiz16 sin^2 theta + 16 cos^2 theta dtheta
ds = raiz16 (sin^2 theta + cos^2 theta) dtheta
Substituindo na expressão de ds = raiz16 times 1 dtheta :
ds = 4 dtheta

Passo 7

Agora, vamos substituir tudo na integral original:
integralC(x^2+y^2-z) d s = integral0^2pi ((4 cos theta)^2 + (4 sin theta)^2 - 4) times 4 dtheta
Calculando os termos dentro da integral:
(4 cos theta)^2 = 16 cos^2 theta
(4 sin theta)^2 = 16 sin^2 theta
16 cos^2 theta + 16 sin^2 theta = 16 (cos^2 theta + sin^2 theta) = 16 times 1 = 16
Portanto, a expressão dentro da integral fica:
16 - 4 = 12

Passo 8

A integral simplifica para:
integral0^2pi 12 times 4 dtheta = 48 integral0^2pi dtheta
Integrando:
48 times [theta]0^2pi = 48 times (2pi - 0) = 96pi

Resposta

96pi

Exercícios relacionados