Calcular as seguintes integrais curvilíneas: , onde C é a intersecção das superfícies e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral curvilínea , onde é a intersecção das superfícies e . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais curvilíneas, que usa conceitos de geometria analítica e cálculo diferencial. Vamos precisar entender como parametrizar a curva de intersecção e calcular o comprimento dessa curva para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a curva . Temos duas superfícies:
  1. Esfera:
  2. Plano:
Para encontrar a intersecção dessas duas superfícies, substituímos na equação da esfera.

Passo 3

Substituindo na equação da esfera:
Isso descreve um círculo no plano com raio , já que implica .

Passo 4

Agora que sabemos que é um círculo de raio no plano , vamos parametrizar essa curva. Uma parametrização comum para um círculo no plano é:
Onde varia de a .

Passo 5

Aplicando os valores específicos do nosso problema ( e ):
Com indo de a .

Passo 6

Agora, vamos calcular , que representa um elemento de comprimento ao longo da curva . Para uma parametrização em termos de , temos:
Calculando as derivadas:
Substituindo na expressão de :

Passo 7

Agora, vamos substituir tudo na integral original:
Calculando os termos dentro da integral:
Portanto, a expressão dentro da integral fica:

Passo 8

A integral simplifica para:
Integrando:

Resposta

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