Calcular as seguintes integrais curvilíneas: , onde C é a intersecção das superfícies e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral curvilínea , onde é a intersecção das superfícies e . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais curvilíneas, que usa conceitos de geometria analítica e cálculo diferencial. Vamos precisar entender como parametrizar a curva de intersecção e calcular o comprimento dessa curva para resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a curva . Temos duas superfícies:
Esfera:
Plano:
Para encontrar a intersecção dessas duas superfícies, substituímos na equação da esfera.
Passo 3
Substituindo na equação da esfera:
Isso descreve um círculo no plano com raio , já que implica .
Passo 4
Agora que sabemos que é um círculo de raio no plano , vamos parametrizar essa curva. Uma parametrização comum para um círculo no plano é:
Onde varia de a .
Passo 5
Aplicando os valores específicos do nosso problema ( e ):
Com indo de a .
Passo 6
Agora, vamos calcular , que representa um elemento de comprimento ao longo da curva . Para uma parametrização em termos de , temos:
Calculando as derivadas:
Substituindo na expressão de :
Passo 7
Agora, vamos substituir tudo na integral original: