Calcule as seguintes integrais curvilíneas abaixo, usando o Teorema de Green: ointC[(y^2+raiz4-x^2) d x+(ln y-4 x) d y], ao longo do retângulo de vértices (0,0), (3,0),(3,2) e (0,2), no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral curvilínea usando o Teorema de Green. O enunciado pede para calcular a integral de linha ao longo de um retângulo com vértices em , , e , sentido anti-horário. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções P(x, y) = y^2 + raiz4 - x^2 e Q(x, y) = ln y - 4x na integral dada:
ointC (P dx + Q dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
O Teorema de Green nos diz que:
Então, nosso próximo passo é calcular as derivadas parciais e .

Passo 3

Vamos calcular partial Qpartial x = partialpartial x (ln y - 4x) = -4 :
partial Ppartial y = partialpartial y (y^2 + raiz4 - x^2) = 2y + 0 = 2y
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA = integral duplaD (-4 - 2y) dA
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região , que é o retângulo definido pelos vértices , , e .

Passo 5

Vamos definir os limites de integração. No retângulo, integral0^3 integral0^2 (-4 - 2y) dy , dx varia de 0 a 3 e integral0^2 (-4 - 2y) dy = [ -4y - y^2 ]0^2 = (-4 times 2 - 2^2) - (0 - 0) = (-8 - 4) = -12 varia de 0 a 2. Assim, a integral dupla fica:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a integral0^3 (-12) dx = -12 times (3 - 0) = -36 :

Resposta

A integral curvilínea é igual a .

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