Calcule as seguintes integrais curvilíneas abaixo, usando o Teorema de Green:
, ao longo do retângulo de vértices
,
e
, no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral curvilínea usando o Teorema de Green. O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo de um retângulo com vértices em
,
,
e
, sentido anti-horário. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na integral dada:
O Teorema de Green nos diz que:
Então, nosso próximo passo é calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, vamos calcular
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região
, que é o retângulo definido pelos vértices
,
,
e
.
Passo 5
Vamos definir os limites de integração. No retângulo,
varia de 0 a 3 e
varia de 0 a 2. Assim, a integral dupla fica:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 6
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
A integral curvilínea é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcular as seguintes integrais curvilíneas:
, onde C é a intersecção das superfícies
e
.
Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral
:
Calcular as seguintes integrais curvilíneas:
, onde
é o segmento de reta AB , com
e
.
Calcular a integral do campo vetorial
, do ponto
ao ponto
ao longo do segmento de reta que une os pontos dados.