Calcule as seguintes integrais curvilíneas abaixo, usando o Teorema de Green: , ao longo do retângulo de vértices , e , no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral curvilínea usando o Teorema de Green. O enunciado pede para calcular a integral de linha ao longo de um retângulo com vértices em , , e , sentido anti-horário. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na integral dada:
O Teorema de Green nos diz que:
Então, nosso próximo passo é calcular as derivadas parciais e .

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região , que é o retângulo definido pelos vértices , , e .

Passo 5

Vamos definir os limites de integração. No retângulo, varia de 0 a 3 e varia de 0 a 2. Assim, a integral dupla fica:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

A integral curvilínea é igual a .

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