Calcular a integral do campo vetorial , do ponto ao ponto ao longo do segmento de reta que une os pontos dados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcular a integral do campo vetorial do ponto até o ponto ao longo do segmento de reta que liga esses pontos. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha. Vamos precisar parametrizar o caminho e calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta que vai de até . Para isso, definimos uma variável que varia de 0 a 1, representando o progresso ao longo da reta. A parametrização da reta pode ser escrita como:
Aqui, e , então:

Passo 3

Agora que temos a parametrização , vamos calcular as derivadas de , e com respeito a , que representam as componentes do vetor .
Então,

Passo 4

Em seguida, substituímos a parametrização na função do campo vetorial . Isso significa substituir , e por , e respectivamente:

Passo 5

Agora, precisamos calcular o produto escalar entre e :

Passo 6

Com o produto escalar calculado, podemos expressar a integral de linha como uma integral definida de a :

Passo 7

Agora, vamos calcular essa integral. Integramos cada termo separadamente:
Somando os dois resultados:

Resposta

A integral do campo vetorial de a ao longo do segmento de reta é igual a 7.

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