Calcular a integral do campo vetorial
, do ponto
ao ponto
ao longo do segmento de reta que une os pontos dados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcular a integral do campo vetorial
do ponto
até o ponto
ao longo do segmento de reta que liga esses pontos. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha. Vamos precisar parametrizar o caminho e calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta que vai de
até
. Para isso, definimos uma variável
que varia de 0 a 1, representando o progresso ao longo da reta. A parametrização da reta pode ser escrita como:
Aqui,
e
, então:
Passo 3
Agora que temos a parametrização
, vamos calcular as derivadas de
,
e
com respeito a
, que representam as componentes do vetor
.
Então,
Passo 4
Em seguida, substituímos a parametrização na função do campo vetorial
. Isso significa substituir
,
e
por
,
e
respectivamente:
Passo 5
Agora, precisamos calcular o produto escalar entre
e
:
Passo 6
Com o produto escalar calculado, podemos expressar a integral de linha como uma integral definida de
a
:
Passo 7
Agora, vamos calcular essa integral. Integramos cada termo separadamente:
Somando os dois resultados:
Resposta
A integral do campo vetorial
de
a
ao longo do segmento de reta é igual a 7.
Exercícios relacionados
Calcular as seguintes integrais curvilíneas:
, onde
é o segmento de reta AB , com
e
.
Calcule as seguintes integrais curvilíneas abaixo, usando o Teorema de Green:
, ao longo do retângulo de vértices
,
e
, no sentido anti-horário.
Calcule as seguintes integrais curvilíneas abaixo, usando o Teorema de Green:
, ao longo do triângulo de vértices
, no sentido anti-horário.
Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral
:
e
o caminho poligonal que une o ponto
ao ponto
, passando por
.