Calcule as seguintes integrais curvilíneas abaixo, usando o Teorema de Green: ointC[x^2 d x+(4 x+y) d y], ao longo do triângulo de vértices (0,0),(1,2) e(2,0), no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais curvilíneas usando o Teorema de Green. A gente tem que calcular a integral de linha ao longo de um triângulo com vértices em , e , seguindo no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que transforma essa integral de contorno em uma integral dupla sobre a área do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada ointC [ P , dx + Q , dy ] = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA com uma integral dupla sobre a região limitada por . A fórmula é:
No nosso caso, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (4x + y) = 4
partial Ppartial y = partialpartial y (x^2) = 0
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 4 - 0 = 4

Passo 4

Com isso, a integral dupla simplifica para:
integral duplaD 4 , dA
Isso significa que precisamos calcular a área da região , que é o triângulo com vértices em , e .

Passo 5

Vamos calcular a área do triângulo usando a fórmula do determinante:
Área = 12 |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)| Á
Substituindo os valores dos vértices:
  • Área = 12 |0(2 - 0) + 1(0 - 0) + 2(0 - 2)| = 12 |0 + 0 - 4| = 12 times 4 = 2 ,
  • ,
  • ,
Á

Passo 6

Agora, voltando à nossa integral dupla:
integral duplaD 4 , dA = 4 times Área = 4 times 2 = 8 Á

Resposta

O valor da integral curvilínea é 8.

Exercícios relacionados