Calcule as seguintes integrais curvilíneas abaixo, usando o Teorema de Green:
, ao longo do triângulo de vértices
, no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais curvilíneas usando o Teorema de Green. A gente tem que calcular a integral de linha
ao longo de um triângulo com vértices em
,
e
, seguindo no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que transforma essa integral de contorno em uma integral dupla sobre a área do triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
limitada por
. A fórmula é:
No nosso caso, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 4
Com isso, a integral dupla simplifica para:
Isso significa que precisamos calcular a área da região
, que é o triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 5
Vamos calcular a área do triângulo usando a fórmula do determinante:
Substituindo os valores dos vértices:
-
, -
, -
,
Passo 6
Agora, voltando à nossa integral dupla:
Resposta
O valor da integral curvilínea é 8.
Exercícios relacionados
Calcular a integral do campo vetorial
, do ponto
ao ponto
ao longo do segmento de reta que une os pontos dados.
Calcular as seguintes integrais curvilíneas:
, onde
é o segmento de reta AB , com
e
.
Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral
:
e
o caminho poligonal que une o ponto
ao ponto
, passando por
.
Resolva.