Calcule as seguintes integrais curvilíneas abaixo, usando o Teorema de Green: , ao longo do triângulo de vértices , no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais curvilíneas usando o Teorema de Green. A gente tem que calcular a integral de linha ao longo de um triângulo com vértices em , e , seguindo no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que transforma essa integral de contorno em uma integral dupla sobre a área do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por . A fórmula é:
No nosso caso, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:

Passo 4

Com isso, a integral dupla simplifica para:
Isso significa que precisamos calcular a área da região , que é o triângulo com vértices em , e .

Passo 5

Vamos calcular a área do triângulo usando a fórmula do determinante:
Á
Substituindo os valores dos vértices:
  • ,
  • ,
  • ,
Á

Passo 6

Agora, voltando à nossa integral dupla:
Á

Resposta

O valor da integral curvilínea é 8.

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Resolva.