Para cada um dos itens abaixo determinar: , com produto interno e B=(lll1 & 2 & 1 0 & 0 & 1 2 & 2 & 2).
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para calcular o produto interno entre duas matrizes e no espaço . O produto interno é definido como , onde representa a traça de uma matriz (a soma dos elementos da diagonal principal).
Vamos precisar:
Transpor a matriz .
Multiplicar a matriz transposta pela matriz .
Calcular a traça da matriz resultante dessa multiplicação.
Passo 2
Primeiro, vamos transpor a matriz A = 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 1 & 1 & 1 . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Ou seja, o elemento que estava na posição A^t = 1 & 4 & 1 2 & 5 & 1 3 & 6 & 1 passa para a posição .
Dada a matriz :
A transposta será:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar a matriz transposta B = 1 & 2 & 1 0 & 0 & 1 2 & 2 & 2 pela matriz A^t B = 1 times 1 + 4 times 0 + 1 times 2 & 1 times 2 + 4 times 0 + 1 times 2 & 1 times 1 + 4 times 1 + 1 times 2 2 times 1 + 5 times 0 + 1 times 2 & 2 times 2 + 5 times 0 + 1 times 2 & 2 times 1 + 5 times 1 + 1 times 2 3 times 1 + 6 times 0 + 1 times 2 & 3 times 2 + 6 times 0 + 1 times 2 & 3 times 1 + 6 times 1 + 1 times 2 . A multiplicação de matrizes é feita somando o produto dos elementos das linhas de A^t B = 1 + 0 + 2 & 2 + 0 + 2 & 1 + 4 + 2 2 + 0 + 2 & 4 + 0 + 2 & 2 + 5 + 2 3 + 0 + 2 & 6 + 0 + 2 & 3 + 6 + 2 = 3 & 4 & 7 4 & 6 & 9 5 & 8 & 11 pelas colunas de .
Matriz :
Multiplicando por :
Simplificando:
Passo 4
Por último, vamos calcular a traça da matriz tr(A^t B) = 3 + 6 + 11 = 20 . A traça é a soma dos elementos da diagonal principal, ou seja, os elementos , e .