Se T: R^3 R^3 é a projeção ortogonal sobre o plano pi: x-y-z=0. Calcule T(x, y, z).

Passo 1

Então, a gente tem uma transformação T: R^3 R^3 que é a projeção ortogonal sobre o plano pi: x - y - z = 0. O objetivo aqui é descobrir como essa projeção T age em qualquer ponto (x, y, z) no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma projeção ortogonal. Basicamente, projetar um ponto sobre um plano significa encontrar o ponto mais próximo no plano em relação ao ponto original. Matemáticamente, isso envolve usar a normal do plano.

Passo 3

O plano dado é pi: x - y - z = 0. A norma desse plano é o vetor que é perpendicular a ele, que, nesse caso, é n = (1, -1, -1). Vamos precisar dessa normal para calcular a projeção.

Passo 4

A fórmula para a projeção ortogonal de um ponto P = (x, y, z) sobre o plano pi: ax + by + cz + d = 0 é:
T(x, y, z) = (x, y, z) - ax + by + cz + da^2 + b^2 + c^2 cdot (a, b, c)
No nosso caso, a = 1, b = -1, c = -1, e d = 0, já que o plano é x - y - z = 0.

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula:
T(x, y, z) = (x, y, z) - 1 cdot x + (-1) cdot y + (-1) cdot z + 01^2 + (-1)^2 + (-1)^2 cdot (1, -1, -1)
Simplificando o numerador e o denominador:
T(x, y, z) = (x, y, z) - x - y - z1 + 1 + 1 cdot (1, -1, -1)
T(x, y, z) = (x, y, z) - x - y - z3 cdot (1, -1, -1)

Passo 6

Agora, vamos distribuir o escalar x - y - z3 no vetor (1, -1, -1):
T(x, y, z) = (x - x - y - z3, y + x - y - z3, z + x - y - z3)

Passo 7

Vamos simplificar cada componente:
Para a primeira coordenada:
x - x - y - z3 = 3x - (x - y - z)3 = 2x + y + z3
Para a segunda coordenada:
y + x - y - z3 = 3y + x - y - z3 = x + 2y + z3
Para a terceira coordenada:
z + x - y - z3 = 3z + x - y - z3 = x + y + 2z3

Resposta

Portanto, a projeção ortogonal T(x, y, z) sobre o plano pi é dada por:
T(x, y, z) = ( 2x + y + z3, x + 2y + z3, x + y + 2z3 )

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lang<= u, vrang<=
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