Se
é a projeção ortogonal sobre o plano
. Calcule
.
Passo 1
Então, a gente tem uma transformação
que é a projeção ortogonal sobre o plano
. O objetivo aqui é descobrir como essa projeção
age em qualquer ponto
no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma projeção ortogonal. Basicamente, projetar um ponto sobre um plano significa encontrar o ponto mais próximo no plano em relação ao ponto original. Matemáticamente, isso envolve usar a normal do plano.
Passo 3
O plano dado é
. A norma desse plano é o vetor que é perpendicular a ele, que, nesse caso, é
. Vamos precisar dessa normal para calcular a projeção.
Passo 4
A fórmula para a projeção ortogonal de um ponto
sobre o plano
é:
No nosso caso,
,
,
, e
, já que o plano é
.
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula:
Simplificando o numerador e o denominador:
Passo 6
Agora, vamos distribuir o escalar
no vetor
:
Passo 7
Vamos simplificar cada componente:
Para a primeira coordenada:
Para a segunda coordenada:
Para a terceira coordenada:
Resposta
Portanto, a projeção ortogonal
sobre o plano
é dada por: